Bir Turing makinesinin durdurulmasına eşdeğer matematik varsayımlar

11

Bu soru, her matematiksel teoremin tek bir Turing makinesinin durup durmadığı sorusuna indirgenip indirilemeyeceği ile ilgilidir. Özellikle, şu anda kanıtlanmamış varsayımlarla ilgileniyorum.

Örneğin: Vikipedi diyor herhangi garip mükemmel sayılar olup olmadığını şu anda bilinmeyen olduğunu. Belirli bir sayının mükemmel olup olmadığına karar verilebildiğinden, her bir tek sayıyı sırayla kontrol eden ve mükemmel olanı bulursa duran bir Turing makinesi yazılabilir. (Bu Turing makinesi herhangi bir girdi almaz.) Turing makinesinin durup durmadığını bilseydik, varsayımın doğru olup olmadığını bilecektik ya da tam tersi.

Ancak, başka bir örnek olarak, ikiz prim varsayımı ne olacak ? Belirli bir sayının ikiz çiftteki ilk asal olup olmadığı karar verilebilir, ancak bu durumda ilkini bulduğumuzda durduramayız, çünkü soru sonsuz bir sayı olup olmadığı ile ilgilidir. Sadece ikiz prime varsayımı doğruysa duracak bir Turing makinesi yapmanın mümkün olup olmadığı bana açık değil.

Biz kesinlikle Turing makinesi yapabileceği durur ancak ve ikiz asal varsayım yalnızca kanıtlanabilir Peano aritmetik veya başka resmi sistem içinde, ama gerçek ama biz tercih belirli sistemde kanıtlanabilir değildir olabileceğinden bu, farklı bir soru.

Yani sorularım

Sadece ikiz prim varsayımı doğruysa duran bir Turing makinesi yapmak mümkün müdür? (Ve eğer öyleyse, nasıl?)
Genel olarak, sadece belirli bir matematiksel ifadenin doğru olması durumunda durup duran bir Turing makinesi yapmak mümkün müdür? Bu Turing makinesi resmi ifadeden algoritmik olarak oluşturulabilir mi?
Genel olarak mümkün değilse, matematiksel ifadeleri tek bir Turing makinesinin veya bir kehanetle bir turing makinesinin durdurulmasına eşdeğer olup olmadığı olarak sınıflandırmanın bir yolu var mı? Öyleyse, bu sınıflandırma belirli bir ifade için karar verilebilir mi?

formal-languages computability mathematical-foundations

— Nathaniel
kaynak

"Doğru" ne demektir? Bu gerçeği hangi modellere göre değerlendiriyoruz? Bence bunu tanımlamanız gerekecek.

— Jake

Bence tüm bu Turing makineleri sadece güvenilirliği test edebilir. PE'deki gerçek ifadeler üzerinde açıkça yinelemeseniz bile, yine de başka bir biçimde bir kanıt arıyorsunuz. Tek fark mükemmel sayıların varlığının açık bir şekilde hem doğru hem de kanıtlanamaz olmasına rağmen, ikiz primler olabilir.

— Karolis Juodelė

Sayılamayan setler hakkındaki varsayımlar Turing makineleri kullanılarak ifade edilemez.

— Raphael

12

$\Sigma_1$ $\Sigma_1$ $\Pi_2$

$\phi$

$\phi$
$\phi$

Bu yapının geçerli olduğunu görmek için ifadenizin mantıksal biçimini göz önünde bulundurun:

\forall ϕ \exists T . ϕ \Leftrightarrow T halts .

$\forall \phi \exists T . \phi \Leftrightarrow T\text{ halts}.$

$\Phi$ $\phi \in \Phi$ $\phi$

$\Sigma_1$

— Yuval Filmus
kaynak

Teşekkür ederim, bence aritmetik hiyerarşi tam olarak istediğim şeydi. Aslında sormak istediğim şey, "herhangi bir girdi almayan Turing makinelerine matematiksel ifadelerden (bazı alt kümeleri) toplam hesaplanabilir bir fonksiyon var mı? Ancak elbette bu, önerdiğiniz sürüme eşdeğerdir.

— Nathaniel

0

$f(1)=2$ $f(2)=4$ $f(n+1)=f(n)!$ $n \geq 2$ $n$ $\Theta_n$

S \subseteq {x_{i}! = x_{k} : i, k \in {1, \dots, n}} \cup {x_{i} \cdot x_{j} = x_{k} : i, j, k \in {1, \dots, n}}

$S \subseteq \{x_i! = x_k: i,k \in \{1,\ldots,n\}\} \cup \{x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in \{1,\ldots,n\}\}$

$x_1,\ldots,x_n$ $1$ $(x_1,\ldots,x_n)$ $\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$ $\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

ifadesi kanıtlamaktadır: değerinden daha büyük bir ikiz asal varsa , o zaman sonsuz sayıda ikiz asal vardır, lütfen A. Tyszka'nın bu makalesine bakın ( setlerinde sonsuzluk böyle varlığı eşdeğerdir tanımını kullanarak hesaplanan bir eşik sayısı daha büyük olan bir elemanın ) $\Theta_{16}$ $f(16)+3$ $W \subseteq \mathbb{N}$ $W$ $W$ $W$

Yani, ifadesinin tek bir sorgu , ikiz asal soruna karar verir. $\Theta_{16}$ $0'$

— Apoloniusz Tyszka
kaynak