Unipatik bir grafiğin kaç kenarı olabilir?

19

Tek yönlü grafik, herhangi bir tepe noktasından başka bir tepe noktasına en fazla bir basit yol olacak şekilde yönlendirilmiş bir grafiktir.

Unipatik grafiklerin döngüleri olabilir. Örneğin, iki bağlantılı bir liste (dairesel bir liste değil!) Tek yönlü bir grafiktir; listede $n$ öğesi varsa, grafikte toplam için 2 uzunluktaki döngüleri vardır . $n-1$ $2(n-1)$

$n$ köşeli unipatik bir grafikteki maksimum kenar sayısı nedir ? Bir yapacağını bağlı asimptotik (örneğin, $O(n)$ ya da $\Theta(n^2)$ ).

_{Esinlenerek Ağırlıklandırılmış tek yönlü bir grafikte en kısa yolları bulun ; içinde zaman ispat , başlangıçta kenarlarının sayısı olduğu, istem istediği , ancak daha sonra döngü sayısını sınırlandıran yeterli olduğunu fark etti. $O(n)$}

graphs combinatorics

— Gilles 'SO- şeytan olmayı bırak'
kaynak

Güzel soru. Ya alt sınırınızı ya da üst sınırımı geliştirmeye çalışmalıyız :).

— RB

12

Tek yönlü bir grafiğin kenarı olabilir. Unipathic var sahiptir ve grafiğin iyi bilinen bir tür var kenarları. $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

kenarları olan tam bir iki taraflı grafiği düşünün . Bu grafik tek yönlüdür ve döngüsü yoktur: tüm yollarının uzunluğu . Bu sahip köşeleri ve kenarları. $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(Takip eden soru: bu oran maksimal mi? Muhtemelen hayır, ama başka bir örneğim yok. Bu örnek, mevcut düğümler arasına eklediğiniz herhangi bir kenarın unipatik özelliği bozması açısından maksimumdur.)}

— Gilles 'SO- şeytan olmayı bırak'
kaynak

"Varolan düğümler arasına eklediğiniz herhangi bir kenar unipatik özelliği bozar"

kenarının eklenmesi özelliği bozar mı?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— Mart'ta mitchus

mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— Gilles 'SO- kötü olmayı bırak'

1

Zihnim o gün bir şekilde unipatikti sanırım :) Maksimalliğe gelince, oran büyük

için 1/4'e gidebilir , ancak

için çift bağlantılı listenin daha fazla kenarı vardır

.

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— mitchus

0

fazla tek yönlü bir grafik olup olmadığını bilmiyorum kenar, ama buradafazla olmadığını gösteren bir argüman $\frac{n^2}{4}$ kenar mümkündür: $\frac{n^2}{2}+3$

Bu çelişki varsayalım böyle bir unipathic grafiktir $G=(V,E)$ . $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

Güvercin yuvası prensip olarak, orada mevcut şekilde $v\in V$

d_{içinde} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

belirtin $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

Uyarı bir tepe olmadığını şekilde $x\in V\setminus \{v\}$

\exists u_{1} \neq u_{2} \in U : (x, u_{1}), (x, u_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

$(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

$\{v\}\times U$

| E \cap (V x U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

$U$

| E | = | E \cap (V x U) | + | E \cap (V x (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— RB
kaynak