Süper evren nedir?

Tip Teorisinde Evrenler Üzerine bu iyi bilinen makaleyi okuyorum . İlk başta SetωAgda'dakine benzer bir şey bekliyordum , ancak bunun daha genel bir şey olduğu ortaya çıkıyor. Evren yapısını basit bir endüktif-özyinelemeli tipten bir bağlayıcıya genelleştiriyor gibi görünüyor ($\Pi$ ve $\Sigma$). Sormak istediğim ana soru, arkasındaki niyet nedir?

Tarski tarzı evrenleri tanımlayan bazı Idris kodları:

mutual

  public export data U : (level : Nat) -> Type where
    GroundU : Ground -> U level
    BinderU : Binder -> (a : U level) -> (b : (x : T {level} a) -> U level) -> U level
    UnivU   : U (S level)
    LiftU   : U level -> U (S level)

  public export T : {level : Nat} -> (code : U level) -> Type

Bunu genel bir şey haline getirmeye çalışıyorum

mutual

  public export data U : (a : Type) -> (b : (x : a) -> Type) -> Type where
    GroundU : Ground -> U a ???
    ...

Ne olmalı ???? Makalenin yazarı, evrenlerin set oluşturucular altında kapatılması gerektiğini söyledi.

edit: Bence ???sadece b...

Bir evren operatörüne ve altında bir süper evrene sahip olmanın arkasındaki bir niyet , küme teorisinden bilinen büyük kardinal aksiyomların tip teorik bir versiyonunu vermektir . Bir ulaşılmaz kardinal bir tip-teorik evrenin gibidir. Bir sonraki ilginç kardinal türü bir Mahlo kardinalidir . Sezgisel olarak konuşursak, bir Mahlo kardinalinin altında "bir sürü" erişilemeyen kardinal vardır. Bu tip teorik olarak ne olurdu? Bir çeşit evren olmalı$U$içinde çok sayıda evren var. Süper evrenleri göz önüne alırken Palmgren'in yaptığı şey budur.

Birçok evrene sahip olmanın daha pratik bir yanı da var. Her türlü amaç için tip teorisinde tümevarımsal-özyinelemeli tiplere sahip olmak yararlıdır. Ama yeni evrenler tanımlamamıza izin verdiler, yani soru kaç tane ? Palmgren'in ne yaptığına dair bir fikir edinmek için, süper evrene hemen ateş etmek yerine, Agda'da aşağıdaki indüksiyon dizisini deneyin (indüksiyon-özyineleme kullanarak):

1. Bir evreni tanımlayın $U_0$, içeren (bir kod) $\mathbb{N}$ ve altında kapalı $\Pi$ ve $\Sigma$. Bu tür evren erişilemez bir kardinal ile eşleşir .

2. Bir operatör tanımlayın $U$ herhangi bir tip alır $A$ ve (kodunu) içeren bir evreni tanımlar. $A$ ve altında kapalı $\Pi$ ve $\Sigma$. Bu tür evren operatörü Grothendieck'in evren aksiyomuna benzer . Tekrar tekrar uygulayarak kaç evren alabiliriz$U$, den başlayarak $\mathbb{N}$?

3. Daha fazla evren elde etmek için bir süper evren varsayıyoruz $V$ aşağıdaki gibi birçok evren içerir:

   • $V$ içeren $\mathbb{N}$, ve altında kapalı $\Pi$ ve $\Sigma$
   • Bir tür verildi (kodu) $A : V$ ve bir aile $B : A \to V$, bir evren var $U$, hangi bir unsurudur $V$, tüm aile türlerini içerir $B$, ve altında kapalı $\Pi$ ve $\Sigma$.

   Kaç evren yapar $V$içeriyor? Bir aile bulabileceğimizi unutmayın$B : \mathbb{N} \to V$ öyle ki $B(n)$ bu $n$- evren vb. $V$ bir evren içermeli $U_\omega$bunların hepsini içerir. Ve bu sadece başlangıç!