K-clique problemi NP tamamlandı mı?


23

Grafik teorisindeki Clique problemiyle ilgili bu Wikipedia makalesinde , başlangıçta, G grafiğindeki K boyutunda bir clique bulma probleminin NP-tamam olduğunu belirtir:

Cliques bilgisayar biliminde de çalışılmıştır: bir grafikte belirli bir büyüklüğün bir klikinin olup olmadığını bulmak (klik sorunu) NP-tamamdır, ancak bu sertlik sonucuna rağmen klikleri bulmak için birçok algoritma çalışılmıştır.

Ancak CS’deki Clique problemiyle ilgili bu diğer Wikipedia makalesinde, sorunun K’nin sabit bir büyüklük için çözüldüğünü, P’de bir sorun olduğunu, polinom zamanlarında zorla zorlanabileceğini söylüyor.

Bir G grafiğinin bir k-vertex clique içerip içermediğini test etmek ve içerdiği herhangi bir clique bulmak için bir kaba kuvvet algoritması, her bir alt yazıyı en azından k vertilleriyle incelemek ve bunun bir clique oluşturup oluşturmadığını kontrol etmektir. Bu algoritma O (n ^ kk ^ 2) zaman alır: her birinin G'deki varlığının kontrol edilmesi gereken O (k ^ 2) kenarlarına sahip kontrol edilmesi gereken O (n ^ k) alt yazıları vardır. Bu nedenle, k sabit bir sabit olduğunda, problem polinom zamanında çözülebilir. Bununla birlikte, k, soruna girişin bir parçası olduğunda, zaman üsseldir.

Burada özlediğim bir şey var mı? Belki de problemin ifadesinde bir fark vardır? Ve son cümle ne anlama geliyor, "k, problemin girdisinin bir parçası olduğunda, ancak zaman üsseldir."? K soruna girişin bir parçası olduğunda neden bir fark vardır?

Benim fikrim, G grafiğindeki k büyüklüğünde bir klik bulmak, önce G düğümlerinden k büyüklüğündeki bir alt kümesini seçip, hepsinin sabit olarak yapılabilecek diğer k düğümleriyle ilişkili olup olmadıklarını test etmemizdir. saati. Ve bunu bir k büyüklüğüne sahip olana kadar tekrarlayın. G arasından seçim yapabileceğimiz k düğüm kümesi sayısı n! / k! * (nk)!


13
Bir problemin NP-eksiksizliği bir girdi olarak düşündüğünüze bağlıdır. Bir sorun olduğu için bunu karar vermek için polinom algoritma varsa. Eğer K sabitse (giriş değil), algoritma n cinsinden polinomdur . Eğer k girişi bir parçasıdır, daha sonra algoritma üstel olduğunu k . PKnkk

Yanıtlar:


17

Sadece @Lamine'ın işaret ettiği şeyi hazırlayın: , girişin bir parçası olduğunda , k , n kadar büyük olabilirkk , bu durumda olası klik kümesi sayısı olan ( n-n2en azından(n(nn2) . Bu yüzden saf algoritmanız2nsürecektir.(nn2)n2Giriş uzunluğunda açıkça üstel olan 2 | x| +| k| =n+logn. Parametreli versiyonuG(n,k)aradığımız buradak, bir in -cliquesn-vertex grafiktir yakalar için en yaygın biçimde sorun sertlikkgirişi bir parçasıdır. DolayısıylaG(n,k) içinbir poli-zaman algoritması ayrıca herhangi bir spesifikkiçin bir poli-zaman algoritması anlamına gelir.2n2|x|+|k|=n+lognG(n,k)knkG(n,k)k

Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.