Sonlu durum otomatının dilinin sonsuzluğu

Bunu söyleyen bir teorem var:

Sahip bir sonlu durum Otomaton Verilen bir dize mevcutsa, devletler kolunun uzunluğu tatmin o zaman otomat tarafından kabul edilen dil sınırsızdır. $n$ $w$ $n \leq |w| \leq 2n-1$

Kısıtlamayı anlıyorum , ama neden kısıtlama orada. $|w| \geq n$ $|w| \leq 2n-1$

automata finite-automata

— rahul sharma
kaynak

En kötü senaryoda, NFA'nız şöyle görünebilir:

Dönmeyi garanti ettiği en küçük (sonsuz bir dili kabul etmeye zorlar) boyutuna sahiptir . $w$ $2n-1$

— André Souza Lemos
kaynak

Q0'dan başlayıp sonra q0'a döndüğümde, makinede bir döngü olduğu anlamına gelir. En kötü durumda yeterli bir şey değil mi, bu durumda neden tekrar son aşamaya gidiyoruz? Bu şekilde anladığım kadarıyla, bu döngüyü bir kez pompalayıp sonra tekrar son aşamaya geçeceğiz, yani son aşamaya girdiğimizde, başka bir duruma geri döndüğümde bunun benim dizem olmadığını varsayıyoruz, ancak bir kez daha son aşamaya döndüğünde, o zaman bu bizim dizemiz var. pompalandı mı?

— rahul sharma

Otomat hakkında sonsuz bir dili kabul ettiğini ispatlamaya çalışıyoruz . İspatın formüle edilmesinde, boyutunun belirli bir aralıkta olduğu kabul edilen bir dizesi varsayılır. Açıkçası, otomatın bir döngüsü varsa, dizesi vardır. Olan şey şu ki, bu aralık içinde bulunamazsa, makine resimdeki gibi olamaz. Ya döngüleri yoktur ya da son halleri yoktur.

w

$w$

w

$w$

w

$w$

— André Souza Lemos

Sadece aradaki üst sınırı anlamaya çalışıyorum, neden 2n-1 ve neden 2n-x değil (x 1 dışında bir şey olabilir). Yukarıdaki şekilde loop'un qo olduğunu söyleyebiliriz -q1 .... qn-q1 .... qn, doğru (maks. döngü)? Ama yine q0 olduğumda (q0 ... aq, q0), bir döngü olduğu anlamına gelmez, bu yüzden maksimum n olmalı, neden n'ye n-1 ekliyoruz (veya neden tekrar nihai duruma gidiyoruz) .Bunu elde etmekte biraz zorlanıyorum :(. maksimum döngü q0 olabilir. ..qn, qn-1, qn-1..q0, böyle bir şey?

— rahul sharma

Üst sınır

2 n - 1

$2n-1$ çünkü bundan daha kötü olamaz.

2 n - x

$2n-x$ den daha küçük

2 n - 1

$2n-1$ ve sana sadece ihtiyacı olan bir otomat gösterdim

2 n - 1

$2n-1$ adımları tekrarlayın. Daha fazlasına ihtiyaç duyan (ve işi yapan) biri yoktur, ancak bu miktara ihtiyaç duyan biri vardır.

— André Souza Lemos

Sadece bir küçük şüphe var.Benim makinemde 4 durum var. Ve abc dizesini okudum ve son duruma ulaştım ve sonra d'yi okudum ve başlangıç durumuna geri döndüm ve sonra tekrar nihai duruma geçti, bu yüzden dizem abcdabc olacak. Bunu pompalama lemmasına nasıl bölebilirim ve y = i'nin bir kez pompalandığını göstermek için y ^ i'yi nereden alabilirim?

— rahul sharma

Ek koşul, kabul edilen dilin sonluluğuna karar vermek için düz bir algoritma yazmanıza - bu aralıktaki uzunluklara sahip tüm dizeleri kontrol etmenize - izin verir. Böylece, bu özelliğin karar verilebilir olduğuna dair bir kanıt elde edersiniz (bu, süper düzenli güce sahip çoğu otomata modeli için değildir).

— Raphael
kaynak

Tam teoremi bir devletler eşdeğerlik yerine bir daha zımnen :

Tarafından kabul edilen dil $n$ -state NFA yalnızca bir kelime içeriyorsa sonsuzdur $w$ boyutu tatmin olan $n \leq |w| \leq 2n-1$ .

Ekstra koşul $|w| \leq 2n-1$ böylece teoremi güçlendirir .

— Yuval Filmus
kaynak