Bir dizideki her öğe için daha küçük öğelerin sayısını etkin bir şekilde bulma

Bu soruna takılı kaldım:

Bir dizi verildi $A$ ilkinin $n$ rastgele rasgele izin verilen doğal sayılar $B$ inşa edilir, öyle ki $B(k)$ öğelerin sayısı $A(1)$ için $A(k-1)$ daha küçük $A(k)$.

ben verdim $A$ bulabilir misin $B$ içinde $O(n)$Zaman?
ii) Verilen$B$ bulabilir misin $A$ içinde $O(n)$ Zaman?

Buraya, $B(1) = 0$. Somut bir örnek için:

$$\begin{vmatrix} A & 8 & 4 & 3 & 1 & 7 & 2 & 9 & 6 & 5 \\ B & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 6 & 4 & 4 \\ \end{vmatrix}$$

Biri bana yardım edebilir mi? Teşekkürler.

Belirleme için saf algoritma $B$ itibaren $A$:

İçin $k=1,\dots,n$değerini belirlemek $B(k)$ her birini karşılaştırarak $A(i)$ için $A(k)$ için $i=1,\dots,k$ ve tatmin olanları saymak $A(i)<A(k)$.

Bu algoritma karşılaştırır $A(1)$ diğerlerine ($n-1$ zamanlar), $A(2)$ için $n-2$ diğerleri, vb. yani toplam karşılaştırma sayısı $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$. Ama bu yapabileceğimiz en iyi şey değil. Örneğin,$B(n)$, karşılaştırma yapmak zorunda değiliz! $B(n)=A(n)-1$çünkü bu ilk $n$ doğal sayılar ve (permütasyondan bağımsız olarak) $n-1$daha düşük doğal sayılar olacak. Ne dersin$B(n-1)$? Kontrol etmek yerine$A(1)$ vasıtasıyla $A(n-2)$, kontrol edebiliriz $A(n)$. Yani:

İçin $k=1, \dots,\frac{n}{2}$, yukarıdaki algoritmayı kullanın; için $k=\frac{n}{2},\dots,n$ ters algoritmayı kullanın: $B(k)$ başlangıçta $A(n)-1$ ve sonra çıkarılıyor $1$ her giriş için $A(i)$ için $i=k+1,\dots,n$ bu daha az $A(k)$.

Bu sürer $2\times\frac{(\frac{n}{2}-1) (\frac{n}{2}-2)}{2}=\frac{(n-2)(n-4)}{4}$ adımlar, ki bu hala $O(n^2)$. Ayrıca,$A$ itibaren $B$, Eğer $B(n)=A(n)-1$ sonra $A(n)=B(n)+1$.

Ama şimdi daha fazla incelik için. Biraz ek alana izin verirsek veya yerinde sıralayabilirsek, sayıları karşılaştırırken sıralayabiliriz. Örneğin:

$$\begin{vmatrix} A & 8 & 4 & 3 & 1 & 7 & 2 & 9 & 6 & 5 \\ S & 9 & 8 & 7 & 4 & 3 & 2 & 1 & 6 & 5 \\ B & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 6 & & \\ \end{vmatrix}$$

Hepsini kontrol etmek (veya sırayla kontrol etmek yerine), her birini belirlemek için ikili aramayı kullanabiliriz. $B(k)$. Ancak, sıralama hala zaman alır$O(n\log n)$.

Her birini belirlemek yerine $B(k)$ birer birer, ileriye bakabiliriz ve yalnızca $A$ bir kez ! Ama kullanacağız$n$ Uzay:

$$\begin{vmatrix} A & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & & B \\ 8 & & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{0} & 1 & & 0\\ 4 & & 0 & 0 & 0 & \color{red}{0} & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & & 0\\ 3 & & 0 & 0 & \color{red}{0} & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 3 & & 0\\ 1 & & \color{red}{0} & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & & 0\\ 7 & & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & \color{red}{3} & 4 & 5 & & 3\\ 2 & & 0 & \color{red}{1} & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & & 1\\ 9 & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & \color{red}{6} & & 6\\ 6 & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \color{red}{4} & 5 & 6 & 7 & & 4\\ 5 & & 0 & 1 & 2 & 3 & \color{red}{4} & 5 & 6 & 7 & 8 & & 4\\ \end{vmatrix}$$

Daha önce belirlenmiş olanları güncellemeyerek daha da fazla zaman kazanabiliriz (yani, güncellemenin anlamı yoktur $8$ ilk adımdan sonra), ancak en kötü durumda, yine de güncellememiz gerekir $\frac{(n)(n+2)}{2}$ zamanlar

hem I hem de II burada açıkladığım #next_greater_element kullanılarak çözülebilir . ama bu sadece problemden biraz daha zor ama çözümden önce bir sonraki büyük unsuru öğrenmeniz gerekiyor:

1. her element için bir vektörünüz olduğunu düşünün $A$ Adını sen koy $S_i$ eleman için $i$. bir kez sağdan sola başlayarak ancak ayar elemanı hariç bir sonraki büyük algoritmayı çalıştır$i$ içinde $A$ bir sonraki büyük eleman indeksi, $S_i$ öğeler $i$ sonra soldan sağa dizi üzerinde yineleme yapar ve sonra $B[i]=\sum_{j=0}^x (S_i[j]+1)$ nerede $x$ vektörün büyüklüğü $S_i$.ve Onun $\Theta(n)$ çünkü bir sonraki büyük algoritma $\Theta(n)$ ve ayrıca yineleme $\Theta(n)$

ikinci bölüm de en doğru elemanın değerini alabileceğimize dikkat çekerek $O(1)$ EDIT: benim çözüm yanlış var gibi görünüyor$o(n)$ çözüm