Matris zinciri çarpımı ve üs alma

ve boyutlarında iki $A$ ve ve hesaplamak istiyorsanız , ilk önce ifadeyi olarak yeniden yazmak daha etkilidir. çünkü ancak o zaman ve sayısal olarak değerlendirmek boyut taşımaktadır ama boyut taşımaktadır .$B$2 × 1000 ( A B ) 5000 A ( B A ) 4999 B A B 1000 × 1000 B A 2 × $1000\times2$$2\times1000$$(AB)^{5000}$$A(BA)^{4999}B$$AB$$1000\times1000$$BA$$2\times2$

Bu sorunun genelleştirilmiş bir sürümünü çözmek istiyorum. Aşağıdakileri içeren bir ifadeyi optimize etmek için makul derecede verimli bir algoritma (kaba kuvvet değil) var mı:

• Bilinen boyutlarda serbest matris değişkenleri
• Keyfi alt ifadelerin ürünleri
• Doğal güce yükseltilen keyfi alt ifadeler

... serbest matris değişkenlerini somut matris değerleriyle değiştirdikten sonra nümerik olarak değerlendirmek için en az iş gerektiriyor?

Matris çarpımı sorun benim sorunun özel bir durumudur.

Düzenle:

Bu geçici bir cevap. Benim için sezgisel olarak doğru görünüyor, ancak doğru olduğuna dair hiçbir kanıtım yok. Doğru olduğu ortaya çıkarsa, hala kanıtla ilgileniyorum. (Doğru değilse, elbette, lütfen beni düzeltin.)

Bir güce yükseltilen her ürün için, örneğin, , faktörlerin her döngüsel permütasyonunu göz önünde bulundurun:$(A_1 A_2 \ldots A_k)^n$

• $(A_1 A_2 \ldots A_k)^n$
• $A_1 (A_2 \ldots A_k A_1)^{n-1} A_2 \ldots A_k$
• $A_1 A_2 (A_3 \ldots A_k A_1 A_2)^{n-1} A_3 \ldots A_k$
• ...
• $A_1 A_2 \ldots A_{k-1} (A_k A_1 A_2 \ldots A_{k-1})^{n-1} A_k$

... tekrarlı. Her bir güç, kare (açıkça) kullanılarak üs alma kullanılarak hesaplanacaktır ve diğer tüm ürünler, matris zinciri çarpma algoritması tarafından döndürülen optimum sıra kullanılarak hesaplanacaktır.

Düzenle:

Önceki düzenlememde ana hatlarıyla verilen fikir hala bir miktar uygunsuz. Kareleme algoritması ile üs alma aslında veya biçimindeki ifadeleri değerlendirir , burada zorunlu olarak kimlik matrisi değildir. Ancak algoritmam, ile algoritmayı kimlik matrisine eşit olmayan üs alma ile üs alma olasılığını düşünmüyor.A n K K $K A^n$$A^n K$$K$$K$

Feragatname: Aşağıdaki yöntemin optimal olduğu kesin olarak kanıtlanmamıştır. Gayri resmi bir kanıt sağlanmıştır.

Ürünün karesi göz önüne alındığında, sorun en verimli siparişi bulmada azalır.

Örneğin, örneğin bakarken, sadece ( A B C ) 2'yi en iyi şekilde çözmemiz gerekir, çünkü bu A B C A B C'ye genişler . A B C'yi tekrar birleştirerek yararlı bir sipariş bilgisi eklenmez . Buradaki sezgi, optimal sıralama sorunu aşağıdan yukarıya çözülebildiğinden, aynı matrisleri kullanan daha fazla elemandan oluşan daha yüksek sıralamalar önemsizdir.$(ABC)^{50}$$(ABC)^2$$ABCABC$$ABC$

en iyi sırasını bulmak A B C , Matris Zinciri Çarpma problemini azaltır. Optimal bir sipariş bulduktan sonra, siparişte üçlüye (genellikle n-demet) üs alma uygulayın.$ABCABC$

Kare için en uygun sipariş ise bir örneğin de, , başlangıç sorununa çözüm bir ( B ( Cı- A ) ) 49 B C .$A(B(CA))BC$$A(B(CA))^{49}BC$

Özetle:
1) çözümünde ilk adım çözmektir ( A 1 bir 2 ⋯ bir n ) 2 . 2) Çözme ( A 1 A 2 ⋯ A n ) 2 en iyi Matris Zinciri Çarpma probleminin bir örneği olarak ele alınır. 3) (2) 'deki çözeltiden n-demet sırasını G kullanarak bize (1)' in A 1 ⋅ A'nın bir çeşidi olarak çözümü verecektir.$(A_1 A_2 \cdots A_n)^m$$(A_1 A_2 \cdots A_n)^2$
$(A_1 A_2 \cdots A_n)^2$
$G$ (çözmeden (2) diğer grupların da uygulanması gerektiğini unutmayın).$A_1 \cdot A_2 \cdot G^{m-1} \cdot A_n$

Resmi olmayan kanıt
İki matris kullanılarak yapılan en basit durum dikkate alındığında, A ve B'nin sırasıyla X × Y ve Y × X boyutlarına sahip olduğuna dikkat çekiyoruz. A ve B kullanan herhangi bir ürün aşağıdaki boyutlardan birine sahiptir:$(AB)^n$$A$$B$$X \times Y$$Y \times X$$A$$B$

Y × X Y × Y X × $X \times Y$
$Y \times X$
$Y \times Y$
$X \times X$

Ya sahip veya Y ≤ X .$X < Y$$Y ≤ X$

Varsayım 1a): A B , X × X boyutuna sahiptir ve bu siparişin aşağıdan yukarıya bir yaklaşımdan optimal olması garanti edilir. A ve B'nin diğer herhangi bir konfigürasyonu eşit derecede iyi veya daha kötüdür. Böylece, sorun optimal olarak çözülmektedir ( A B ) n .$X < Y$
$AB$$X \times X$$A$$B$$(AB)^n$

Varsayım 1b): B A , Y × Y boyutuna sahiptir . Bu, A ve B içeren tüm ürünler için en uygun sipariştir . Bu nedenle, çözelti en uygun olarak bulunan bir ( B A ) n - 1 B .$Y ≤ X$
$BA$$Y \times Y$$A$$B$$A(BA)^{n-1}B$

Bu, kanıtı sonuçlandırıyor ve sadece kare problemi olan bulunan iki sıralamaya baktık .$ABAB$

Daha fazla matris kullanan argüman benzerdir. Belki endüktif bir kanıt mümkün mü? Genel fikir, kare için MCM'yi çözmenin, dikkate alınan tüm ilgili matrislerle işlemler için en uygun boyutu bulacağıdır.

Vaka Analizi:

julia> a=rand(1000,2);
julia> b=rand(2,1000);
julia> c=rand(1000,100);
julia> d=rand(100,1000);
julia> e=rand(1000,1000);

julia> @time (a*b*c*d*e)^30;
  0.395549 seconds (26 allocations: 77.058 MB, 1.58% gc time)

# Here I use an MCM solver to find out the optimal ordering for the square problem
julia> Using MatrixChainMultiply
julia> matrixchainmultiply("SOLVE_SQUARED", a,b,c,d,e,a,b,c,d,e)
Operation: SOLVE_SQUARED(A...) = begin  # none, line 1:
    A[1] * (((((A[2] * A[3]) * (A[4] * (A[5] * A[6]))) * (A[7] * A[8])) * A[9]) * A[10])
  end
Cost: 6800800

# Use the ordering found, note that exponentiation is applied to the group of 5 elements
julia> @time a*(((((b*c)*(d*(e*a)))^29*(b*c))*d)*e);
  0.009990 seconds (21 allocations: 7.684 MB)

# I also tried using the MCM for solving the problem directly
julia> @time matrixchainmultiply([30 instances of a,b,c,d,e]);
  0.094490 seconds (4.02 k allocations: 9.073 MB)

$A_1$$A_n$$A_i$$A_j$$O (n^3)$