Turing makineleri ile ilgili ilginç bir metrik alan

Bu soruda yalnızca tüm girdilerde duran Turing makinelerini ele alıyoruz. Eğer $k \in \mathbb{N}$ o sırada $T_k$ kimin kodudur Turing makinesi ifade $k$ .

Aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun

Başka bir deyişle, , dizelerinden birini tam olarak tanıyan en küçük Turing makinesinin kodudurŞimdi aşağıdaki haritayı tanımlayabilirizx , y $s(x,y)$$x,y.$

) 'nin \ Sigma ^ {*} üzerinde bir metrik alan (aslında bir ultrametrik) indüklediği hızlı bir şekilde doğrulanabilir .$d(x,y)$$\Sigma^{*}.$

Şimdi, eğer $f:\Sigma^{*} \mapsto \Sigma^{*}$ , muntazam sürekli bir işlev ise, her özyinel dil L için, $f^{-1}(L)$ nin de özyineli olduğunu kanıtlamak istiyorum .

Diğer bir deyişle, $f$ her $\epsilon > 0$ için bir \ delta> 0 olacak şekilde bir harita olsun, öyle ki x$\delta > 0$ dizeleri için $x,y \in \Sigma^{*}$

Şimdi bu yazıda daha önce belirtildiği gibi , probleme yaklaşmanın bir yolu, hesaplarında dizesini veren bir Turing makinesinin olduğunu göstermektir f ( x ) $x \in \Sigma^{*}$$f(x).$

Bu iddiayı kanıtlamakta ve bunu çözmek için başka bir yaklaşım olup olmadığını yavaşça merak ediyorum?

İpuçları, öneriler ve çözümler bekliyoruz!

Düzenleme: kaldırılan ipuçları, benim çözüm gönderdi.

İşte benim çözümüm. Bir referans noktası seçecekler f ( x ) ∈ L ve evreni dikkate x ve f ( x ) görünümünün 'ın noktaları. Bir noktanın her "mahallesinin" özyinelemeli bir dile karşılık geldiği ortaya çıktı. Yani L , f ( x ) etrafındaki bir mahalle ve x'in çevresinde onunla eşleşen bir mahalle olacak ; bu mahalle özyinelemeli bir dildir.$x$$f(x) \in L$$x$$f(x)$$L$$f(x)$$x$

Lemma. Bu alanda, bir dil yalnızca ve her bir dizesinin komşusu ise özyinelemelidir.

Kanıt . İlk olarak, tekrarlayan bir dil düzeltin ve x ∈ L olsun . K , L için bir karar vericinin minimal indeksi olsun . Daha sonra biz bu ise y ∉ L , s ( x , y ) ≤ K , yani D ( x , y ), ≥ 1 / 2 K . Bu şekilde d ( x , y ) < 1 / 2 K anlamına gelir y $L$$x \in L$$K$$L$$y \not \in L$$s(x,y) \leq K$$d(x,y) \geq 1/2^K$$d(x,y) < 1/2^K$ .$y \in L$

İkinci olarak, gelişigüzel bir dize olsun ve ε > 0 düzeltin ; izin K = ⌊ log ( 1 / ε ) ⌋ . Let L K = { y : d ( x , y ) < ε } ; o zaman L K = { y : s ( x , y ) > K } . Sonra yazabiliriz$x$$\varepsilon > 0$$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$$L_K = \{y : d(x,y) < \varepsilon\}$$L_K = \{y : s(x,y) > K\}$

Ama Karar verilebilen geçerli: girdi On y , öncelikle taklit edebilir K üzerindeki Deciders x ve y ve ancak her ikisiyle de kabul ya da her ikisi reddedilmesi halinde kabul edin. $L_K$$y$$K$$x$$y$$~\square$

Şimdi neredeyse bitti:

Prop sürekli olsun. Eğer L yinelemeli, daha sonra f - 1 ( L ) özyinelemeli.$f$$L$$f^{-1}(L)$

Kanıt. Sürekli bir işlev altında, bir mahallenin ön sınırı bir mahalle.

İlginç bir şekilde, bu alanda sürekli bir fonksiyonun eşit olarak sürekli olduğunu düşünüyorum: sürekli olsun, bu nedenle her x noktası için, her ε için karşılık gelen bir δ vardır . Bir ε düzeltin ve K = ⌊ log ( 1 / ε ) ⌋ olsun . Ε boyutunda sınırlı sayıda top vardır: L ( T 1 ) ∪ L ( T 2 ) ⋯ ∪ L ( T K ) vardır ; o zaman var$f$$x$$\varepsilon$$\delta$$\varepsilon$$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$$\varepsilon$$L(T_1) \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$; sonraL(T1)∪ ¯ L ( T 2 ) ⋯∪L(TK)vb. fbu diller her bir iştirakçiLıbir öngörüntü dilL ' i ilgili çaplıδi. Her$\overline{L(T_1)} \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$$L(T_1) \cup \overline{L(T_2)} \dots \cup L(T_K)$$f$$L_i$$L_i^{\prime}$$\delta_i$ , d ( x , y ) ≤ δ $x \in L_i^{\prime}$ . Bu sonlu sayıda üzerinde minimum alabilir Yani δ düzgün süreklilik sabit almak için s Í bununla ilişkili £ değerinin .$d(x,y) \leq \delta_i \implies d(f(x),f(y)) \leq \varepsilon$$\delta$$\delta$$\varepsilon$