Doğrusal bir kısıtlamayla dışbükey bir işlevi en üst düzeye çıkarma

$$\text{maximize } f(\mathbf{x}) \quad\text{subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$

nerede

$$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{\left(\sum_{i=1}^{N}x_i^2\right)^2}},$$

ve bir ∈ R M x N .$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

Biz görebilirsiniz dışbükey olup aşağıdaki şekildedir $f$ . Aynı zamanda, bu gösterilebilirfçevrilmiş olarak[$\sqrt{1+y^2}$$f$. Genel olarak dışbükey bir maksimizasyon probleminin NP-zor olduğunu biliyorum.$[\sqrt{2}, 2]$

Ancak, sorunun özel doğasını kullanarak, herhangi bir standart dışbükey optimizasyon yazılımı / paketi kullanarak çözmek mümkün müdür?

Evet, eşitlik kısıtıyla Convex Optimizasyonu genel olarak NP-Hard'dur. Bununla birlikte, Koordinat İniş gibi dışbükey optimizasyon problemlerine çok güzel yaklaşık çözümler bulan olgun teknikler vardır.

$k$$x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$$x_i$$f(\cdot)$$x_i$

Sonra nk-1 koordinatını tekrar tekrar düzeltiriz ve yaklaşık olarak en uygun olanı bulana kadar çözümü geliştiririz.