Neden izomorfizm, otomorfizm ve homomorfizm yapıyoruz?

13

Basit layman dilinde bu üç terim izomorfizm, otomorfizm ve homomorfizm arasındaki temel farklar nelerdir ve neden izomorfizm, otomorfizm ve homomorfizm yapıyoruz?

graph-theory

— Xara
kaynak

18

İzomorfizm eşit grafikler kavramını resmileştirir . Örneğin bu şekilde üç izomorfik grafik görüyorsunuz resim açıklamasını buraya girin

Daha resmi, grafiklerin bir izomorfizm ve bir bijection olan bu korur bitişiklik. Demek ki: $G_1$ $G_2$ $f:V(G_1) \mapsto V(G_2)$

u \sim_{G_{1}} v ⟺ f (u) \sim_{G_{2}} f (v)

$u \sim_{G_1} v \iff f(u) \sim_{G_2} f(v)$

Resimdeki her grafik çifti için böyle bir bijection bulmak zor değil.

$G_1 = G_2$

$f$ $G$ $v$ $u$ $u$ $v$

$G$ $u,v \in V(G)$ $f:V(G) \mapsto V(G)$ $f(u) = v.$ resim açıklamasını buraya girin

ve gördüğünüz gibi grafikler "simetrik" görünüyor. Bunun nedeni, tarif edilen tipte "çok" otomorfizmaya sahip olmasıdır.

Grafik homomorfizmaları genellikle layman tarafından incelenmez ve az ya da çok teorik amaçlardır. Örneğin, köşe renklendirme kavramı ile yakından ilişkilidirler . Ayrıca bakınız: Hadwiger Conjecture

— Jernej
kaynak

1

... homomorfizmalar genellikle layman tarafından incelenmez ... komik! +1

— Pratik Deoghare

8

$h:G\rightarrow G'$ $G=(V,E)$ $G'=(V',E')$ $e=(u,v) \in E$ $(h(u),h(v))\in E'$

Şimdi bir grafik izomorfizması iki yönlü bir homomorfizmdir, yani tersi aynı zamanda bir homomorfizmdir. İki grafik izomorfik ise, o zaman sadece aynı köşelerdir, sadece köşelerin yeniden etiketlenmesi ile. İki grafiğin birbirine izomorf olup olmadığını belirleme sorunu, karmaşıklık teorisinde önemli bir sorundur.

Son olarak bir otomorfizm, bir grafikten kendisine izomorfizmdir.

— Marc Khoury
kaynak