Hesaplanabilir realitelerin karar verilebilir özellikleri

"Rice'ın hesaplanabilir gerçekler için teoremi" - yani, belirli bir hesaplanabilir gerçek tarafından temsil edilen sayının önemsiz hiçbir özelliği karar verilemez - doğru mu?

Bu, gerçeklerin bağlantılılığına doğrudan bir şekilde karşılık geliyor mu?

computability real-numbers computable-analysis

— Shachaf
kaynak

Evet, Rice'ın gerçekler teoremi, hesaplanabilir gerçeklerin her makul versiyonunda geçerlidir.

Önce belirli bir teorem ve bir sonuç ortaya koyacağım ve daha sonra hesaplanabilirlik ile ne yapacağını açıklayacağım.

Teorem: in bir harita olduğunu ve ve iki gerçek olduğunu varsayalım . Daha sonra Cauchy dizisi vardır şekilde Tüm . $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$ $(x_i)_i$ $p(\lim_i x_i) \neq p(x_j)$ $j \in \mathbb{N}$

Kanıt. Aşağıdaki gibi bir dizi gerçek : dikkate tüm bu : $(y_i, z_i)_i$

\begin{aligned} (y_{0}, z_{0}) & = (a, b) \\ (y_{i + 1}, z_{i + 1}) & = {\begin{cases} (y_{i}, (y_{i} + z_{i}) / 2) & if p ((y_{i} + z_{i}) / 2) = 1 \\ ((y_{i} + z_{i}) / 2, z_{i}) & if p ((y_{i} + z_{i}) / 2) = 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} (y_0, z_0) &= (a, b) \\ (y_{i+1}, z_{i+1}) &= \begin{cases} (y_i, (y_i + z_i)/2) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 1$} \\ ((y_i + z_i)/2, z_i) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 0$} \\ \end{cases} \end{align*}$

i \in N

$i \in \mathbb{N}$

$p(y_i) = 0$ ve $p(z_i) = 1$
$|z_i - y_i| = |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|y_{i+1} - y_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|z_{i+1} - z_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$

Böylece ve dizileri ve ortak bir noktaya yakınlaşırlar . Eğer sonra alır ve eğer sonra alır . $(y_i)_i$ $(z_i)_i$ $c = \lim_i y_i = \lim_i z_i$ $p(c) = 0$ $(x_i)_i = (z_i)_i$ $p(c) = 1$ $(x_i)_i = (y_i)_i$ $\square$

Sonuç: ve iki gerçek olduğunu varsayalım ki ve . Sonra her Turing makinesi sonsuza kadar çalışır veya sonsuza kadar çalışmaz. $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$

Kanıt. Teoremi olarak, bir Cauchy dizisi vardır şekilde Tüm . Genelliği kaybetmeden ve . $(x_i)_i$ $p(x_j) \neq p(\lim_i x_i)$ $j \in \mathbb{B}$ $p(x_j) = 1$ $p(\lim_i x_i) = 0$

Let Turing makine olabilir. Bir dizi tanımlayın tarafından Sıra iyi tanımlanmıştır, çünkü adımına kadar simüle edebilir ve o kadar çok adımda durup durmadığına karar verebiliriz. Sonra, bir Cauchy dizisi olduğunu gözlemleyin çünkü bir Cauchy dizisidir (bunu bir egzersiz olarak bırakıyoruz). Let . Her iki veya : $T$ $y_i$

y_{i} = {\begin{cases} x_{j} & if T halts in step j and j \leq i \\ x_{i} & if T does not halt within i steps \end{cases}

$y_i = \begin{cases} x_j & \text{if $T$ halts in step $j$ and $j \leq i$}\\ x_i & \text{if $T$ does not halt within $i$ steps} \end{cases}$

T

$T$

i

$i$

(y_{i})_{i}

$(y_i)_i$

(x_{i})_{i}

$(x_i)_i$

z = lim_{i} y_{i}

$z = \lim_i y_i$

p (z) = 0

$p(z) = 0$

p (z) = 1

$p(z) = 1$

Eğer , sonra sonsuza kadar çalışır. Gerçekten, adımlarından sonra , olurdu ve bu yüzden , . $p(z) = 0$ $T$ $j$ $z = x_j$ $p(z) = p(x_j) = 1$ $p(z) = 0$
Eğer daha sonra sonsuza çalışmaz. Gerçekten, eğer olsaydı, o zaman olurdu ve bu yüzden , çelişiyordu . $p(z) = 1$ $T$ $z = \lim_i x_i$ $p(z) = p(\lim_i x_i) = 0$ $p(z) = 0$ $\square$

Şimdi bunun neden bize Rice'ın gerçek sayılar için teoremini verdiğini açıklayabiliriz. Kanıtlar yapıcıdır, bu nedenle hesaplanabilir prosedürler sağlarlar. Bu, herhangi bir hesaplanabilirlik modeli ve sözde hak edilmeyi hak eden gerçeklerin herhangi bir hesaplama yapısı için geçerlidir. Aslında, bir program oluşturmaya yönelik talimatlar olarak geri dönüp kanıtı okuyabilirsiniz - tüm adımlar hesaplanabilir.

Böylece, bir hesaplanabilir harita olsaydı ve hesaplanabilir şekilde ve , o zaman teorem ve sonuçların Halting kehanetini oluşturmak için yapıcı kanıtlarından kaynaklanan hesaplanabilir prosedürleri uygulayabiliriz. Ancak Durdurma kehaneti mevcut değildir, bu nedenle, her hesaplanabilir harita sabittir. $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(1) = 1$ $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$

Tamamlayıcı: Rice teoreminin gerçeklerin bağlantılılığıyla ilgili olup olmadığı hakkında da bir soru vardı. Evet, aslında gerçeklerin birbirine bağlı olduğunun ifadesidir.

İlk önce sürekli bir haritasının ( üzerindeki ayrık topolojiyi alırız ) bir çift ayrık klozet (kapalı ve açık) kümesine karşılık geldiğini gözlemleyelim. öyle ki . Gerçekten de, ve . Çünkü süreklidir ve ve açıktır, ve , açık ayrık, ve tabii ki her kapsayacak . Bunun aksine, herhangi bir çift ayrık clopens kapak olduğu sürekli bir ilk tespit $p : X \to \{0,1\}$ $\{0,1\}$ $U, V \subseteq X$ $U \cup V = X$ $U = p^{-1}(\{0\})$ $V = p^{-1}(\{1\})$ $p$ $\{0\}$ $\{1\}$ $U$ $V$ $X$ $(U,V)$ $X$ $p : X \to \{0,1\}$ ile öğeleri ve ile öğeleri eşleyen . $U$ $0$ $V$ $1$

Bundan bir boşluk olduğunu öğrenmek sürekli bir harita vardır, ancak eğer kesilir, ve ve böyle ve ( önemsiz bir ayrışması elde etmek için ve ihtiyacımız var ). Aynı şeyi söylemenin başka bir yolu daha vardır: yalnızca tüm sürekli haritaları sabitse ve alanı bağlanır . $X$ $p : X \to \{0,1\}$ $a, b \in X$ $p(a) = 0$ $p(1) = b$ $a$ $b$ $X$ $X$ $X \to \{0,1\}$

Hesaplanabilir matematikte temel bir teoremimiz vardır: her hesaplanabilir harita süreklidir . Dolayısıyla, hesaplanabilir nesneler alanında olduğumuz sürece, Rice'ın teoremi aslında belirli bir alanın bağlı olduğunu belirtir. Klasik Rice teoremi söz konusu olduğunda, kısmi hesaplanabilir fonksiyonlarının alanıdır . $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— Andrej Bauer
kaynak

Teşekkürler! Aradığım şey buydu. Diğer soru hakkında herhangi bir fikir - bunun doğrudan gerçeklerin bağlantılılığıyla ilgili olup olmadığı?

— Shachaf

Rice teoreminin aslında bir tür bağlantılılık teoremi olduğu hakkında bir açıklama ekledim.

— Andrej Bauer

Varsayalım ve tanımlamak ise içinde durdurmak değildir adımları ve , aksi. T sonra durdurmak etmezse yakınsak için , aksi takdirde yakınsak için . Eğer hesaplanabilir, o zaman verilen , bir sınırı işlem bir makine oluşturabilir . Neden olduğunu göstermek için bu yeterli değildir olarak (hesaplanabilir, hatta semidecidable olamaz IFF durdurmak gelmez olan

p (x) = 1, p (x^{'}) = 0

$p(x)=1, p(x')=0$

y_{i} = x

$y_i=x$

T

$T$

i

$i$

y_{i} = x^{'}

$y_i=x'$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

x^{'}

$x'$

x, x^{'}

$x,x'$

T

$T$

y_{i}

$y_i$

p

$p$

T

$T$

p

$p$

1

$1$ sınırında). Açıkçası ben bir şey eksikim, çünkü yarı değerli olan önemsiz özellikler var.

— Ariel

tanımınız tamam, ancak sınırının hesaplanabilir olduğunu iddia etmek için dizisinin hesaplanabilir bir yakınsama hızına da ihtiyacınız var . Biz hesaplanamaz yana olan indeksi en sekansı atlamak olabilir için (ya da başka biz adımı, hesaplayabilirdi durur) odaklama gibi bir hesaplanabilir oranı vardı edilemez.

T

$T$

y_{i}

$y_i$

i

$i$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

x^{'}

$x'$

T

$T$

— Andrej Bauer

-1

Hayır. Ya da, en azından, kanıt önemsiz değildir, çünkü gerçek hesaplamak için (genellikle birçok) olası yollardan birini seçebilir ve seçilen mülkün toplamı olan bir yapıya sahip birini seçebilirsiniz. mülkü durdurma sorununa karşı test etmeyi azaltmazsınız.

Ayrıca, "önemsiz" ne wrt sayıların ne anlama geldiğini daha iyi anlamak gerekir düşünüyorum. Rice teoremi için, "önemsiz" temelde sözdizimsel değildir ve sözdizimi tarafından ima edilmez. Ancak her hesaplanabilir gerçek sayı tek bir program değil, programlarla dolu bir denklik sınıfıdır.

— Boyd Stephen Smith Jr.
kaynak

Ne demek istediğinden emin değilim, burada. Hesaplanabilir gerçek sayılarla (örneğin, , , vb.) Ve bunları hesaplayan programlar arasında ayrım yapmaya mı çalışıyorsunuz ? Elbette, her bir hesaplanabilir gerçek hesaplayan sonsuz sayıda program vardır, ancak herhangi bir karar verilebilir dile karar veren sonsuz sayıda Turing makinesi de vardır ve sıradan Rice teoreminin bununla ilgili bir sorunu yoktur.

2

$2$

22 / 7

$22/7$

π

$\pi$

— David Richerby

Hesaplanabilir realitelerin farklı gösterimleri aslında önemli ölçüde farklı hesaplanabilirlik özelliklerine sahip mi? Diyelim ki en.wikipedia.org/wiki/Computable_number adresindeki tanımlardan birini kullanıyorum , örneğin hesaplanabilir bir gerçek, rasyonel bir hataya bağlı olan ve bu sınır içinde bir yaklaşım üreten bir program tarafından temsil edilir. Rice teoremi ile aynı anlamda "önemsiz" demek istiyorum: Tüm hesaplanabilir gerçekler veya hiçbirine uygulanmayan bir özellik. Her sayının birden fazla program tarafından temsil edilebileceği doğrudur, ancak bu kısmi işlevler için de geçerlidir.

— Shachaf

@Shachaf Rice Teoreminin gerektirdiğinden daha "önemsiz". "Sözdizimsel" özellikler de önemsizdir - ör. "Başlangıç durumundan erişilebilen en az 4 durum vardır", "bağlı bir durum grafiğine sahiptir", "X'i banda yazan hiçbir geçiş yoktur" vb. her makine için geçerli değildir.

— Boyd Stephen Smith Jr.

@DavidRicherby Evet, ayrımın gerekli olduğunu düşünüyorum. Yalnızca toplam veya üretken temsillerle çalışabiliyorsanız, daha fazla güce sahipsiniz.

— Boyd Stephen Smith Jr.

Rice teoremi, bunları hesaplayan algoritmalarla değil, kısmi fonksiyonların özellikleriyle ilgilidir. Benzer şekilde, onları hesaplayan programlar değil, hesaplanabilir realitelerin özelliklerini soruyorum.

— Shachaf