Hesaplanabilirlik teorisinde özyinelemenin önemi

Hesaplanabilirlik teorisine özyineleme teorisi de denir. Neden böyle deniyor? Özyineleme neden bu kadar önemlidir?

1920'lerde ve 1930'larda insanlar "bir işlevi etkili bir şekilde hesaplamanın" ne anlama geldiğini anlamaya çalışıyordu (hatırlayın, etrafta genel amaçlı bilgi işlem makineleri yoktu ve bilgi işlem insanlar tarafından yapılmış bir şeydi).

Üçü en iyi bilinen çeşitli "hesaplanabilir" tanımları önerilmiştir:

1. -calculus$\lambda$
2. Özyinelemeli işlevler
3. Turing makineleri

Bunlar aynı sayı teorik fonksiyon sınıfını tanımladılar. Özyinelemeli işlevler Turing makinelerinden daha eski olduğundan ve hatta daha eski calculus hemen hesaplanabilirlik kavramı olarak kabul edilmediğinden, "özyinelemeli" sıfatı yaygın olarak kullanıldı (özyinelemeli işlevler, özyinelemeli kümeler, özyinelemeli sayılabilir kümeler, vb.)$\lambda$

Daha sonra Robert Soare tarafından "özyinelemeli" ifadeyi "hesaplanabilir" olarak değiştirme çabası vardı . Böylece günümüzde hesaplanabilir fonksiyonlardan ve hesaplanabilir kümelerden bahsediyoruz. Ancak birçok eski ders kitabı ve birçok kişi hala "özyinelemeli" terminolojiyi tercih etmektedir.

Tarih için çok fazla. Tamamen matematiksel bir bakış açısından özyinelemenin hesaplama için önemli olup olmadığını da sorabiliriz. Cevap çok kesin bir "evet!" Dir. Özyineleme, genel amaçlı programlama dillerinin temelindedir ( whiledöngüler bile while p do caynı şekilde özyineleme biçimidir if p then (c; while p do c)) ve listeler ve ağaçlar gibi birçok temel veri yapısı özyinelemelidir. Özyineleme bilgisayar bilimlerinde ve özellikle hesaplanabilirlik teorisinde kaçınılmazdır.

Hesaplanabilirlik teorisi hesaplanabilir fonksiyonların incelenmesidir :-).

Bu tür işlevler genellikle (bu toplulukta) bir Turing makinesiyle ifade edilebilecek işlevler olarak tanımlanır.

Daha biçimsel olarak bir işlev olduğu hesaplanabilir Turing mevcut ise bu şekilde giriş durumunda olduğu çıkış olduğu$f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$$T$$T$$x = 1^n$$T$$1^{f(x)}.$

Hesaplanabilir fonksiyonları (programlar) bu şekilde tanımlarsanız, burada açıklanan kuralları kullanarak elde edebileceğiniz fonksiyonlar grubuna denktir . Bu tür işlevleri elde etmek için kurallardan biri özyinelemeli bir tanım olduğundan, özyinelemeli işlevler olarak adlandırılır (wikipedia'da 5. kurala bakın).

Bu nedenle, özyineleme teorisinin çok önemli olmasının nedeni, hesaplanabilir fonksiyonların neden önemli olduğu sorusuna eşdeğerdir. Ve ikincisinin cevabı oldukça açık olmalı :)