Bağlamsız dillerin döngüsel geçiş altında kapatıldığına dair kolay kanıt

Çevrimsel kaydırma (aynı zamanda dönme veya konjugasyon bir dil) $L$ olarak tanımlanır . Vikipedi'ye göre (ve burada ) bağlamsız diller bu operasyon kapsamında, Oshiba ve Maslov'dan gelen makalelere atıfla kapatılmıştır. Bu gerçeğin kolay bir kanıtı var mı?$\{ yx \mid xy \in L \}$

Normal diller için kapanma bu formda " Normal operatörlerin çevrim operatörü altında kapalı olduğunu kanıtlayın " şeklinde ele alınmaktadır .

Aşağı açılan otomatik verileri kullanmayı deneyebilirsiniz. Orijinal dil için bir aşağı açılan otomat verildiğinde, döngüsel kayma için bir tane oluşturuyoruz. Yeni otomat tekabül eden, iki aşamada faaliyet $y$ ve $x$ kelimesinin bir parçası $yx$ ( $xy$ orijinal dilde). Otomat terminal olmayan bir pop istiyorum zaman ilk aşamada, $A$ , yerine terminal olmayan bir itme $A'$ ; fikir, ilk aşamanın sonunda, yığının ters sırayla, x okunduktan sonra yığında bulunan sembolleri içermesidir.$x$orijinal otomat tarafından. İkinci aşamada (anahtar olmayan deterministik) 'de, bunun yerine, bir terminal olmayan itme $A$ , bir terminal olmayan pop bırakılır $A'$ . Orijinal otomasyon gerçekten x okunduktan $x$sonra yığını oluşturabiliyorsa, yenisi tüm yığını tam olarak patlatabilir.

Düzenleme: İşte daha fazla ayrıntı. Bize alfabe Σ , durum Q kümesi, kabul durum F kümesi, terminal olmayan Γ , başlangıç ​​durum q 0 ve bir dizi izin verilen geçiş içeren bir PDA verildiğini varsayalım . Her bir kabul edilebilir bir geçiş formda olan ( q , bir , bir , q ' , α ) , yani bu zaman durumu olarak q , okunması üzerine bir ∈ A (ya da bir = £ değenni üst ise, bir serbest geçiş var ki bu durumda,) yığın yığını A $\Sigma$$Q$$F$$\Gamma$$q_0$$(q,a,A,q',\alpha)$$q$$a \in A$$a = \epsilon$Γ (ya da bir = ε yığın boş olduğunu gösterir,), daha sonra PDA durum için hareket (bir belirli olmayan model) olabilir q ' yerine, bir ile a ∈ Γ * .$A \in \Gamma$$A = \epsilon$$q'$$A$$\alpha \in \Gamma^*$

Yeni PDA, her A ∈ Γ için yeni bir terminal olmayan A ′'ya sahiptir . Her iki durum için q , q ′ ∈ Q ve A ∈ Γ ∪ { ϵ } için iki durum vardır ( q , q ′ , 1 ) , ( q , q ′ , 2 , A ) . Başlangıç ​​durumları (gerçek başlangıç ​​durumu aralarında ϵ- geçişleri aracılığıyla belirleyici olmayan bir şekilde seçilir ) $A'$$A \in \Gamma$$q,q' \in Q$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$$(q,q',1),(q,q',2,A)$$\epsilon$q , q , 1 ) . Her geçiş için ( q , a , A , q ′ , α ) karşılık gelen geçişler ( ( q , q ″ , 1 ) , a , A , ( q ′ , q ″ , 1 ) , α ) ve ( ( q , q ″ , 2 , $(q,q,1)$$(q,a,A,q',\alpha)$$((q,q'',1),a,A,(q',q'',1),\alpha)$) , a , A , ( q ′ , q ″ , 2 , B ) , α ) . Başka geçişler de var.$((q,q'',2,B),a,A,(q',q'',2,B),\alpha)$

Her geçiş için ( q , a , A , q ′ , α ) geçişler vardır ( ( q , q ″ , 1 ) , a , B ′ , ( q ′ , q ″ , 1 ) , B ′ A ′ α ) , burada B ∈ Γ ∪ { ϵ } ve ϵ ′$(q,a,A,q',\alpha)$$((q,q'',1),a,B',(q',q'',1),B'A'\alpha)$$B \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$ϵ . Her son durum için q ∈ F , geçişler vardır ( ( q , q " , 1 ) , ε , A , ( q 0 , q " , 2 , ε ) , A ) , burada bir ∈ y olan ∪ { ε } .$\epsilon' = \epsilon$$q \in F$$((q,q'',1),\epsilon,A,(q_0,q'',2,\epsilon),A)$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$

Her geçiş için ( q , a , ϵ , q ′ , α ) geçişler vardır ( ( q , q ″ , 2 , A ) , a , B ′ , ( q ′ , q ″ , 2 , A ) , B ′ α ) , burada A ∈ Γ ∪ { ϵ } . Her geçiş için$(q,a,\epsilon,q',\alpha)$$((q,q'',2,A),a,B',(q',q'',2,A),B'\alpha)$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$( q , a , ϵ , q ′ , A ) , geçişler vardır ( ( q , q ″ , 2 , B ) , a , A ′ , ( q ′ , q ″ , 2 , A ) , ϵ ) , burada B ∈ Γ ∪ { ϵ } . Her geçiş için ( q , $(q,a,\epsilon,q',A)$$((q,q'',2,B),a,A',(q',q'',2,A),\epsilon)$$B \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$, A , q ′ , B ) , "genel geçişler" ( ( q , q ″ , 2 , C ) , a , B ′ A , ( q , q ″ , 2 , C ) , ϵ ) ; bunlar, ara yeni bir durum boyunca iki geçiş dizisi olarak uygulanır. Geçişler ( q , a , ϵ , q ′$(q,a,A,q',B)$$((q,q'',2,C),a,B'A,(q,q'',2,C),\epsilon)$α ) ile | α | ≥ 2 de benzer şekilde ele alınır. Her geçiş için ( q , a , A , q ′ , A ) geçişler vardır ( ( q , q ″ , 2 , A ) , a , B , ( q ′ , q ″ , 2 , A ) , B ) , burada B $(q,a,\epsilon,q',\alpha)$$|\alpha| \geq 2$$(q,a,A,q',A)$$((q,q'',2,A),a,B,(q',q'',2,A),B)$Γ ′ ∪ { ϵ } . Geçişler ( q , a , A , q ′ , A α ) benzer şekilde ele alınır. Son olarak, tek bir nihai durum f ve geçişler vardır ( ( q , q , 2 , A ) , ϵ , ϵ , f , ϵ ) .$B \in \Gamma' \cup \{\epsilon\}$$(q,a,A,q',A\alpha)$$f$$((q,q,2,A),\epsilon,\epsilon,f,\epsilon)$

(Kaçırdığım birkaç geçiş olabilir ve atladığım bazı ayrıntılar biraz dağınık.)

Hatırlayın , x y'nin orijinal PDA tarafından kabul edildiği bir y x kelimesini kabul etmeye çalışıyoruz . Bir durum ( q , q ′ , 1 ) , 1. aşamada, q durumunda olduğumuz ve orijinal PDA'nın x okuduktan sonra q ′ durumunda olduğu anlamına gelir . Bir durum ( q , q ′ , 2 , A ) benzerdir, burada A , son açılan A ′'ya karşılık gelir . 1. aşamada, A $yx$$xy$$(q,q',1)$$q$$q'$$x$$(q,q',2,A)$$A$$A'$$A'$A'yı patlatmak yerine . Bunu x işlenirken üretilen her terminal olmayan için yaparız , ancak yalnızca y işlenirken patlar . 2. aşama olarak, pop izin verilen A ' yerine iterek A . Bunu yaparsak, stokun üst kısmının gerçekten A olduğunu hatırlamamız gerekir ; bu sadece yığın üzerinde simüle edilmiş PDA'da yığının üst kısmı ϵ veya B ′ formuyla aynı olan "geçici" bir şey olmadığında geçerlidir .$A$$x$$y$$A'$$A$$A$$\epsilon$$B'$

İşte basit bir örnek. Bir otomat düşünün x n y n iter A her biri için , x , ve çıkar A her biri için y . Yeni otomat iki biçimdeki kelimeleri kabul eder: y k x n y n - k ve x k y n x n - k . Birinci formdaki kelimeler için, 1. aşama k zamanlarını A ′ itmek , 2. aşama k zamanlarını A ′ itmek, $x^n y^n$$A$$x$$A$$y$$y^k x^n y^{n-k}$$x^k y^n x^{n-k}$$k$$A'$$k$$A'$- k kere A ve haşhaş n - k kere A . İkinci formdaki kelimeler için önce k çarpı A , sonra pop k çarpı A , n - k çarpı A ′ , aşama 2'ye geçiş ve pop n - k çarpı A ′ .$n-k$$A$$n-k$$A$$k$$A$$k$$A$$n-k$$A'$$n-k$$A'$

Burada, her bir parantez türünün hemen torunları farklı bir türe ait olması gereken çeşitli türlerdeki ("()", "[]", "<>") dengeli parantezlerin dili için daha karmaşık bir örnek verilmiştir. Örneğin, "([] <>)" tamam, ancak "()" yanlış. Her bir "(" biz itmek için A üstü yığın değilse bir her biri için, ")," pop A . Benzer şekilde B , C , "[]" ve "<>" ile ilişkilidir. Burada ">) ([()] <". Biz tüketmek ">)", itme kelimeyi kabul nasıl C ' A ' , ve geçiş aşaması 2. Biz tüketmek "(" için A ′ haşhaş ve yığın A'nın hatırlanması . "[()]" Tüketiyoruz, itiyoruz ve patlıyoruz$A$ $A$$A$$B$$C$$C'A'$$A'$$A$B bir ; B'yi iterken, "gerçek" yığının üst kısmının A olduğunu biliyoruz ve bu nedenle köşeli parantezlere izin veriliyor (">) (() <" tarafından kandırılmayacağız); A'yı iterken, yığının üst kısmı B ( ϵ veya X ′ formunda olmayan) olduğundan, B'nin de "gerçek" yığının üstüolduğunu biliyoruzve bu nedenle yuvarlak parantezlere izin verilir ( yığının üstündeki gölge A )olmasına rağmen). Son olarak, "<" ve pop C ′ tüketiyoruz.$BA$$B$$A$$A$$B$$\epsilon$$X'$$B$$A$$C'$

Greibach normal formunu düşünün . Eğer tek değişiklik yapımları gereken bir kaydırılmış bir dil inşa etmek S → alfa A 1 ... A n için S → A 1 ... A n a ve yeni bir terminal dışı eklemek S ' gibi davranacağını o S için kullanılan durumda bazı bazı üretim başvurulan S .$S \to \alpha A_1 \dots A_n$$S \to A_1\dots A_n \alpha$$S'$$S$$S$

Eski Hopcroft ve Ullman klasik Otomata Teorisine Giriş (1979) ' u kontrol etmek iyi bir fikirdi . Çevrim altındaki kapatma Egzersiz 6.4c'dir ve S ** olarak işaretlenmiştir. Çift yıldız, kitaptaki en zor sorunlardan biri olduğu anlamına gelir. Neyse ki S, bir çözümle seçilen sorunlardan biri olduğunu gösteriyor.

Çözüm aşağıdaki gibidir. Chomsky normal formda bir CFG alın. Herhangi bir derivasyon ağacını düşünün ve temel olarak ters çevirin. Orijinal ağaçta S = X 1 , X 2 , … , X n yolunu düşünün . Solda ağacın x 1 , x 2 , … , x n sağına katkıları vardır y 1 , y 2 , … , y n , yani türetilen dize x 1 x 2 … x n'ye eşittir$S=X_1, X_2, \dots , X_n$$x_1, x_2, \dots, x_n$$y_1, y_2, \dots, y_n$y n … y 2 y 1 . (Aslında yol sola devam ettiğinde dilbilgisi CNF olduğundan, katkı sağda olacak ve karşılık gelen x i boş olacak vb.)$x_1 x_2 \dots x_n y_n \dots y_2 y_1$$x_i$

Ağaç baş aşağı bir yol vardır S ' , X n , ... X 2 , X 1 katkılarıyla y n , ... , y 2 y 1 sola ve x n , ... , x 2 x 1 sağa, yani sonuç y n … y 2 y 1 x 1 x 2 … x n için bir türevdir . Gereğince, gerektiği gibi.$S', \hat X_n, \dots \hat X_2, \hat X_1$$y_n, \dots, y_2 y_1$$x_n, \dots, x_2 x_1$$y_n \dots y_2 y_1 x_1 x_2 \dots x_n$

Yapının tüm detayları kitapta verilmiştir.

Bunun Yuval tarafından (kabul edilen) çözümü nasıl hatırlattığına dikkat edin. Patlatılan yerine itilen terminaller yığın üzerinde ters sıradadır. Ağaçta baş aşağıya oldukça benzer.