Yayılan bir ağaç probleminin NP eksiksizlik kanıtı

Eğitmenimin sorduğu bir soruda bazı ipuçları arıyorum.

Ben de bu karar probleminin yeni olduğunu anladım: :$\sf{NP\text{-}complete}$

Bir grafik olarak , bir kapsayan ağaç olduğu tam bir kümesini içerir yapraklarının olarak. Hamiltonian yolunu bu karar sorununa indirgeyerek olduğunu ispatlayabileceğimizi düşündüm .G G = { x 1 , x 2 , ... , x , n } K P - C o m p l e t $G$$G$$S=\{x_1, x_2,\ldots, x_n\}$$\sf{NP\text{-}complete}$

Ancak hocam da bize sınıfta sordu:

o da olurdu eğer yerine "tam set ", yaptığımız$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

"tüm kümesini ve muhtemelen diğer yaprakları" veya " alt kümesini " içerir$S$$S$

"S'nin alt kümesi" nin olacağını düşünüyorum , ancak bunu ispatlayamam, hangi sorunu buna azaltabileceğimi bilmiyorum. " setini dahil et " derken, polinom zamanında çözülebileceğini düşünüyorum.$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

Kısacası, tahminlerin doğru. Bu cevabın amacı için, söz konusu üç sorunu şöyle adlandıralım:

• Eşitlik versiyonu: bir grafiktir Verilen ve bir dizi , karar bir kapsayan ağaç sahip yaprak grubu şekilde eşittir . Sizin de belirttiğiniz gibi bu, Hamilton yolu probleminden kaynaklanan bir azalma ile NP tamamlandı.S ⊆ V G T T $G = (V, E)$$S \subseteq V$$G$$T$$T$$S$
• Alt Küme sürümü: Verilen ve yukarıdaki gibi, karar kapsayan ağaç vardır yaprak kümesi böyle bir alt kümesidir .S G T T $G$$S$$G$$T$$T$$S$
• Süperset sürümü: Verilen ve yukarıdaki gibi, karar kapsayan ağaç vardır yaprak kümesi böyle bir üst kümesidir .S G T T $G$$S$$G$$T$$T$$S$

Alt küme sürümünün NP tamamlanmış olduğunu kanıtlamak için Hamiton yolundaki sorunu hala azaltabilirsiniz. Eşitlik versiyonunun NP eksiksizliğinin kanıtını değiştirmeye çalışın.

Süperset versiyonu polinom zamanda çözülebilir olduğunu kanıtlamak için, böyle bir ağaç için gerekli ve yeterli koşul bulmaya varolmaya.$T$

Her iki versiyon da (yayılan ağaçlarla ilgili diğer problemlerin yanı sıra) [SK05]. Ancak, kağıttaki provalara bakmadan önce sorunları kendi başınıza çözmeye çalışmanız daha iyi olur, çünkü kağıda bakmak büyük bir spoiler olabilir. Ne yazık ki süperset sürümü için polinom-zaman algoritması bulmaya çalışmadan önce gazeteye bakmıştım!

[SK05] Muhammed Sohel Rahman ve Mohammad Kaykobad. Yayılan ağaçlarda bazı ilginç problemlerin karmaşıklığı. Bilgi İşlem Mektupları , 94 (2): 93-97, Nisan 2005. [ doi ] [ yazar kopyası ]

Bu ipuçları, S probleminin yerini almak için beni bir çözüme götürecek kadar değildi - ipuçları yararlı ve doğru olsa da. Bu, beni çözüme kavuşturan düşünce trenim.

S'deki tüm köşeleri G ((VS) 'den kaldırır ve ardından DFS'li bir yayılma ağacı T bulursanız ne olur? G'de henüz bağlanmamış herhangi bir köşe varsa, v1; Bu, S'deki en az bir tepe noktasının kaldırılan köşelerdeki rolü hakkında ne söylüyor? Şu anda yayılan ağaçta bulunan bazı tepe noktalarından v1 yolunda uzanması. Bu nedenle, bir yaprak olamaz (çünkü yaprakların çocuğu yoktur). Bağlantısız düğüm yoksa, bu, S'deki her köşenin, yayılan ağaca giden bir kenarı olması koşuluyla bir yaprak olabileceği anlamına gelir. S'deki yalnızca S'deki diğer köşelere bağlanan tepe noktaları elbette yayılan ağaçla bağlantısı olmaz ve durumu ihlal eder. Yani, kontrol edilmesi gereken iki durum var:

1. S'deki olmayan tüm düğümler, G'den S'yi çıkardıktan ve yayılan bir ağaç bulduktan sonra bağlanırsa
2. Eğer S'deki her düğüm doğrudan yayılan ağaca bağlanabilir.