İki veya üç sorguda bir polinom bulun

kara kutusu , polinom 'i herhangi bir noktada değerlendirebileceğim anlamına gelir . $f(x)$ $f(x)$

Girdi : derece siyah monik polinom kutu . $f(x) \in\mathbb{Z}^+[x]$ $d$
Çıktı: Polinom nin katsayıları . $d$ $f(x)$

Algoritmam: let

f (x) = x^{d} + a_{d - 1} x^{d - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

$f(x) = x^{d} + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

Polinom değerlendirmek olarak kara kutu kullanılarak birçok noktada ve lineer denklem bir sistem elde. Şimdi istenen katsayıları elde etmek için doğrusal denklem sistemini çözebilirim. $\mathcal{f(x)}$ $d$

Ancak, bu durumda, kara kutuya birçok sorguya ihtiyacım var . Sorgu sayısını en aza indirmek istiyorum . Sorgu sayısını iki veya üçe indirmenin bir yolu var mı? $\mathcal{O(d)}$

algorithms polynomials

— karmaşa
kaynak

Soruyu değiştirmeye devam ediyorsun. Belki ilk önce sorunuza karar vermeli ve ancak o zaman sormalısınız. Aksi takdirde cevap veren kişi için biraz sinir bozucu olabilir.

— Yuval Filmus

ne anlama geliyor?

Z^{+}

$\mathbb{Z}^+$

— md5

pozitif tamsayı kümesi

— Karmaşıklık

Algoritmanız için BTW, katsayılar Lagrange'ın kapalı formülü ile

yerine

olarak hesaplanabilir .

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— md5

Farklı bir şekilde ifade edilen tam olarak aynı soru: math.stackexchange.com/questions/446130/…

— Nayuki

İki sorguyu kullanarak polinomu belirleyebilirsiniz. İlk olarak katsayıların değeri üzerinde bir üst sınır elde etmek için polinomu sorgulayın . Şimdi seçtiğiniz polinomu sorgulayın ve taban genişlemesinden katsayıları okuyun . $x=1$ $M$ $x > M$ $x$

İlginçtir ki, katsayıların negatif olmasına izin verirseniz, sorgularından daha iyisini yapamazsınız . Gerçekten de, ben her zaman cevap verebilir sorgular sıfıra ve bu formun tüm polinomların beri polinom değerini sabit değildir cevaplarımla tutarlı. $d$ $d-1$ $x_1,\ldots,x_{d-1}$ $(x-x_1)\cdots(x-x_{d-1})(x-x_d)$

— Yuval Filmus
kaynak

Negatifler için bence 2'nin tamamlayıcı hilesi işe yarayabilir.

— Karmaşıklık

Katsayıların büyüklüğü üzerinde bir üst sınır olmadan olmaz. Kanıtlarım bunu gösteriyor.

— Yuval Filmus

Üzgünüm bu bölümü alamadım "Ben her zaman cevap verebilir

sorgular

sıfır tarafından"

d - 1

$d-1$

x_{1}, \dots, x_{d - 1}

$x_1,\ldots,x_{d-1}$

— Karmaşıklık

Bu olumsuz bir argüman. Sizin algoritması değeri için kara kutuyu sorar

yerlerde ve her zaman sıfır yanıtlar. Bunun

değerini çıkarmanız için yeterli olmadığını gösteriyorum .

f

$f$

d - 1

$d-1$

f

$f$

— Yuval Filmus