Y birleştiricisi “Lambda matematiği tutarsızlığını” nasıl örneklemektedir?

Sabit Nokta Kombinatorleri için Wikipedia sayfasında oldukça gizemli metinler yazılmıştır.

Y birleştiricisi, Lambda hesabını tutarsız kılanın bir örneğidir. Bu yüzden şüphe ile kabul edilmelidir. Bununla birlikte, Y birleştiricisini yalnızca matematik mantığında tanımlandığı zaman düşünmek güvenlidir.

Bir çeşit casus romanına girdim mi? Dünyada “ calculus ” un “tutarsız” olduğu ve “şüphe ile ilgili” olması gerektiği ifadesiyle ne kastedilmektedir ?$\lambda$

Gerçek olaylardan esinlenmiştir, ancak ifade edildiği yol zaruri olarak kabul edilemez ve “şüpheyle dikkate alınmalı” saçmalıktır.

Tutarlılığın mantıkta kesin bir anlamı vardır: Tutarlı bir teori, tüm ifadelerin kanıtlanamayacağı bir teoridir. Bir deyim vardır ve ancak eğer klasik mantık, bu bir çelişki olmaması eşdeğerdir, yani bir teori tutarsızteori hem kanıtlıyor öyle kive onun olumsuzlaması.$A$$A$$\neg A$

Peki bu lamda matematiği için ne anlama geliyor? Hiçbir şey değil. Lamda matematiği bir yeniden yazma sistemidir, mantıksal bir teori değildir.

Lambda matematiğini mantık ile ilgili olarak görmek mümkündür. Bir kanıtdaki bir hipotezi temsil eden değişkenler olarak, lambda, belirli bir hipotezin altındaki kanıtlar olarak (değişken tarafından temsil edilen) kanıtlar ve hipotezin koşullu bir kanıtını ve kanıtını bir araya getirerek uygulayın. Daha sonra beta kuralı , mantığın temel ilkesi olan modus ponens uygulayarak bir kanıtın basitleştirilmesine karşılık gelir .

Ancak bu, yalnızca şartlı kanıt, doğru hipotezin kanıtıyla birleştirildiğinde çalışır. kabul eden koşullu bir kanıtınız varsa ve ayrıca kanıtı varsa, bunları birleştiremezsiniz. Bu lambda hesabının çalışmasını yorumlamak istiyorsanız, yalnızca uygun hipotezin kanıtlarının koşullu kanıtlara uygulanacağı bir kısıtlama eklemeniz gerekir. Buna tür sistemi denir ve sınırlama, bir fonksiyona bir argüman ilettiğinizde, argüman türünün fonksiyonun parametre tipiyle eşleşmesi gerektiğini söyleyen yazma kuralıdır.$n=3$$n=2$

Curry-Howard yazışma arasında bir paralel daktilo taşı ve dayanıklı sistemler.

• türleri mantıksal ifadelere karşılık gelir;
• terimler ispatlara karşılık gelir;
• yaşadığı türler (yani, bu türden bir terim olacak türler) gerçek ifadelere karşılık gelir (yani o ifadenin kanıtı olacak ifadeler);
• program değerlendirmesi (yani beta gibi kurallar) ispatların dönüşümlerine karşılık gelir (bu da doğru ispatları doğru ispatlara daha iyi dönüştürmüştür).

gibi sabit bir nokta birleştiricisine sahip olan bir yazı tipi, herhangi bir terimin oluşturulmasına izin verir ( deneyin ), böylece Curry-Howard yazışmaları yoluyla mantıksal bir yorum alırsanız tutarsız bir teori elde edersiniz. Bkz mu Y combinator çelişmektedir Curry-Howard yazışma? daha fazla ayrıntı için.$Y$$Y (\lambda x.x)$

Bu, saf lambda matematiği, yani tipsiz lambda matematiği için anlamlı değildir.

Birçok yazılı hesapta, sabit nokta birleştiriciyi tanımlamak imkansızdır. Bu yazılı hesaplar, mantıksal yorumlarına göre faydalıdır, ancak bir Turing-komple programlama dili için bir temel olarak kullanılamaz. Bazı yazılı hesaplarda, sabit nokta birleştiriciyi tanımlamak mümkündür. Bu yazılı hesaplar Turing-complete bir programlama dili için bir temel olarak kullanışlıdır, ancak mantıksal yorumlarına göre değil.

Sonuç olarak:

• Lambda matematiği “tutarsız” değildir, bu kavram geçerli değildir.
• Bir yazılı Lambda taşı bu atar her lambda terimi, bir tür tutarsız. Bazı yazılı lambda matematiği böyle, diğerleri ise bazı terimleri yazılamaz ve tutarlıdır.
• Yazılan lambda taşları tek değildir nedenidir varlık lambda hesabı için, hatta tutarsız yazılan lamda taşları çok yararlı araçlardır - sadece şeyler kanıtlamak için değil.

@Giles'ın söylediklerine bir tane eklemek istiyorum.

Köri-Howard yazışmalar arasında bir paralel hale -terms (daha özel olarak, tip arasında -terms) ve izolasyon sistemleri.$\lambda$$\lambda$

Örneğin, tip sahiptir (burada vasıtası "ile ilgili fonksiyon için mantıksal ifade karşılık gelir,"), . İşlev türü vardır tekabül eden, . Herhangi bir lambda-matematiği türünü mantıksal bir totolojiye dönüştürebiliriz, bir anlamda, fonksiyonlar üzerinde "örüntü eşleştirme".$\lambda x.\lambda y.x$$a \to (b \to a)$$a \to b$$a$$b$$a \implies (b \implies a)$$\lambda x.\lambda y.xy$$(a \to b) \to (a \to b)$$(a \implies b) \implies (a \implies b)$

Sorun, olarak tanımlanan Y birleştiricisini göz önüne aldığımızda ortaya çıkar . Sorun, bir "sabit nokta" birleştiricisi olarak Y birleştiricisinin türüne sahip olmasını beklememizden kaynaklanıyor (çünkü bir türden aynı türe bir işlev alıyor ve sabit buluyor) o tür için o işleve işaret edin). Bunu mantıksal bir cümleye dönüştürmek verimi . Bu bir çelişki:$\lambda f.(\lambda x.f(xx))(\lambda x.f(xx))$$(a \to a) \to a$$(a \implies a) \implies a$

Kabul tipi sistem tutarsız olma bir tip sistem derivasyonlarda. Bu da yapabiliriz demektir$(a \to a) \to a$

• Bir tür sistemindeki türlerine izin verme (bu, size Basitçe yazılan -calculus değerini verir ) veya$(a \to a) \to a$$\lambda$
• Mantıksal bir kesinti sistemi olarak tutarsız olan tip sistemiyle yaşayın.