Lambda hesabında bilinmeyen fonksiyonlar için fonksiyonel denklemlerin çözümü

Lambda hesabında bilinmeyen fonksiyonlar için fonksiyonel denklemleri çözmek için herhangi bir teknik var mı?

Varsayalım ki, tanımsal olarak tanımlanmış kimlik fonksiyonuna sahibim:

$I x = x$

(o fonksiyonun beklenen davranışı için bir denklemi yazarak vardır) ve şimdi bunu çözmek istiyorum o işlev için intensional formülünü elde etmek için bazı cebirsel dönüşümü yaparak:$I$

$I = \lambda x.x$

bu , işlevin beklenen şeyi tam olarak nasıl yaptığını anlatır (yani, lambda hesabında nasıl uygulanacağını).

Elbette kimlik fonksiyonu sadece örnek olarak kullanılmıştır. Bu tür denklemleri çözmenin daha genel yöntemleriyle ilgileniyorum. Özellikle, aşağıdaki gereksinimi karşılayan bir işlev bulmak istiyorum :$B$

$B\;f\;(\lambda x.M) = (\lambda x.f M)$

yani, verilen işlevini , muhtemelen onu parçalayıp yeni bir işlev oluşturarak , "bedeni" M'sinden (bazı keyfi lambda ifadesi) önce verilen lambda işlevine ( λ x . M ) "enjekte eder" . f işlevinin uygulandığı bir parametre haline geldi .$f$$(\lambda x.M)$$M$$f$

Bu, Üst Düzey Birleştirme olarak bilinen bilinen bir sorundur .

Ne yazık ki, bu sorun genel olarak kararlaştırılamaz. Miller'in Desen Parçası olarak bilinen karar verilebilir bir parça var. Diğer şeylerin yanı sıra, meta değişkenler veya kalıp eşleşmesi ile bağımlı olarak yazılan programların yazım denetiminde yaygın olarak kullanılır. Bu fragman, birleştirme değişkenlerinin sadece farklı bağlı program değişkenlerine uygulandığı yerdir.

Bu makale , daha üst düzey birleşmenin nasıl çalıştığına dair harika bir eğitim sunmaktadır ve bunun (nispeten) basit bir uygulamasından geçmektedir.

Ne yazık ki, işleviniz bu desen parçasına düşüyor gibi görünmüyor. Bununla birlikte, gördüğüm şey işlev kompozisyonuna oldukça benzer. Aşağıdaki işlev mülkünüzü tatmin ediyor mu?

$B = \lambda f\ g\ x\ \ldotp f\ (g\ x)$

Sahibiz:

• $B\ f\ (\lambda x . M)$
• $= B\ f\ (\lambda y . [y/x]M)$$\alpha$
• $= \lambda x . f\ ((\lambda y. [y/x]M) x)$
• $= \lambda x . f\ ([x/y][y/x]M)$
• $= \lambda x . f\ M$

Kimlik fonksiyonu ile denklem konusunda kısmi bir cevabım olduğunu düşünüyorum:

$I x = x$

$I$$(\lambda p.M)$$M$$I$

$(\lambda p.M)\; x = x$

$x$

$M[p/x] = x$

$M$$p$$x$

$I = (\lambda x.x)$

tabii ki doğru cevap :)

$\omega$

$\omega\;\omega = \omega\;\omega$

$\omega$$(\lambda x.M)$$M$

$(\lambda x.M)\;\omega = \omega\;\omega$

$M$

$M [x/\omega] = \omega\;\omega$

$x$$M$$\omega$$\omega\;\omega$$M$$x\;x$

$\omega = (\lambda x.x\;x)$

gerçekten durum böyle :)

Yine de, sağ taraf zaten aradığımız formda olduğu için bu kadar kolay olabileceğini hissediyorum.