İkili yığın kanıtlanması vardır

Ben ispat etmeye çalışıyorum ikili yığın ile $n$ düğümlerinin tam olarak sahip Yığın aşağıdaki şekilde oluşturulduğu göz önüne alındığında 2 ⌉yaprak:$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Her yeni düğüm percolate up ile yerleştirilir . Bu, her yeni düğümün bir sonraki kullanılabilir alt öğede oluşturulması gerektiği anlamına gelir. Bununla kastettiğim, çocukların aşağıya doğru ve soldan sağa doldurulmasıdır. Örneğin, aşağıdaki yığın:

    0
   / \
  1   2

olur sahip bu sırada inşa edildiği: 0, 1, 2. (sayılar o düğüm düzenlenen fiili verilerin hiçbir belirti verir, sadece indeksleri vardır.)

Bunun iki önemli sonucu vardır:

1. Seviye k tamamen doldurulmadan seviyesinde düğüm bulunamaz$k+1$$k$

2. Çocuklar soldan sağa inşa edildiğinden, düzeyindeki düğümler veya aşağıdakiler gibi durumlar arasında "boş boşluk" olamaz : $k+1$

       0
      / \
     1   2
    / \   \
   3  4    6
   

(Bu benim tanımı gereği yasadışı yığın olurdu.) Böylece, bu yığın düşünmek için iyi bir yoldur bir olan dizi gerçekleştirilmesi herhangi dizinin yönelimler belirlenmiştir içinde "atlar" olamaz bir yığın, bir.

Yani, tümevarımın muhtemelen bunu yapmanın iyi bir yolu olacağını düşünüyordum ... Belki de n için garip bir durumla başa çıkmak zorunda kalan bir şey. Örneğin, bu tarzda inşa edilen yığınların bile, tek bir n için bir çocukla bir iç düğüme ve tek bir n için bu tür düğümlere sahip olmaması gerektiğini kullanan bazı indüksiyon. Fikirler?

Sorunuzu doğru bir şekilde alırsam, elde edilen yığın sadece sıralı bir ikili ağaçtır, burada sıralı olarak Seviyesinin sadece k - 1 seviyesi tamamen dolduktan ve her seviye soldan işgal edildikten sonra işgal edilebileceğini söyledim sağa atlamadan.$k$$k-1$

Sonra kanıt böyle gider.

1. Mükemmel bir derinlik ağacının tam olarak 2 k + 1 - 1 düğümü vardır.$k$$2^{k+1}-1$
2. Yığının derinliğine ulaştığını varsayın . Böylece $k$
   1. seviyesine kadar ağaç mükemmeldir (ve orada 2 k - 1 düğümü vardır)$k-1$$2^k-1$
   2. son düzeyde, hepsi yaprak olan tam olarak düğümleri vardır.$n-2^k+1$
3. Üzerindeki her yaprak inci düzeyinde bir ebeveyni vardır. Ayrıca, her iki ardışık yaprak aynı babaya sahiptir (belki sadece bir çocuğu olan son düğüm hariç)$k$
4. Bu nedenle, üzerinden düzeyinde düğümleri k - 1 , ⌈ n - 2 k + $2^{k-1}$$k-1$veliler ve geri kalanı2k-1-⌈n-2 k +$\left\lceil \frac{n-2^{k}+1}{2} \right\rceil$yapraklarıdır.$2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$
5. Toplam yaprak miktarı verir ne gerek. $$n-2^k+1 + 2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$$

İşte daha basit bir mantık kanıtı.

Son yaprak $n^{th}$indeks. Üst öğesi dizinde$\lfloor{n/2}\rfloor$ ve benzer şekilde, ebeveyni ($\lfloor n/2 +1\rfloor)^{th}$öğesi. Böylece yapraklar endekslenir$\lfloor{n/2}\rfloor$ +1 ila n.

Dolayısıyla, toplam yaprak sayısı = n- $\lfloor(n/2)\rfloor$ = $\lceil(n/2)\rceil$.