Sonlu olmayan herhangi bir otomat var mı?

Otomata teorisinde, hepimiz otomatayı en baştan, sonlu otomata olarak okuruz. Bilmek istediğim şu ki, neden otomatlar sonlu? Açık olmak gerekirse, sonlu bir otomatın içinde ne var - alfabe, dil, düzenli ifadelerle yapılan ipler ya da ne? Ve (teoride) herhangi bir sonlu olmayan otomata var mı?

Genelde karşılaşacağınız tüm otomat modelleri son derece temsil edilir; Aksi halde, sayısız kişi olacaktır, bu da onların Turing-complete modellerinde yakalanmadıkları anlamına gelir. Veya, CS-düşüncesinde, işe yaramazlardı¹.

"Sonlu otomata", sonlu olarak adlandırılır, çünkü sadece sonlu bir konfigürasyon kümesine sahiptirler (bir kenara giriş dizgisi). Örneğin, Pushdown otomatalarında rasgele içerik barındırabilen bir yığın var - mümkün olan çok sayıda yapılandırma var.

Not: PDA'ların yapılandırmaları hala son derece temsil edilmektedir! Aslında, Turing-hesaplanabilirliğinin içine giren herhangi bir hesaplama modelinin son derece gösterilebilir konfigürasyonlara sahip olması gerekir, aksi halde TM'ler bunları simüle edemez.

1. Bu sorunun amacı için hiper hesaplamayı bilinçli bir şekilde göz ardı ediyorum.

Tam adı "sonlu durum otomatı" dır . Önemli kısım, otomattonun durumunun, bazı sonlu kesikli durum kümelerinin bir elemanı ile tamamen karakterize edilebilmesidir. Bu, otomatın (ilgili) durumunun gerçek değerli bir değişkeni içermesi durumunda, sonsuz sayıda potansiyel durumun (kayan nokta gösterimlerinin inceliğini bir kenara koyarak) olduğu ve otomatın sonlu olmadığı anlamına gelir.

Bu teorik bilgisayar bilimlerinde asla gerçekleşmeyebilir, ancak gerçek sayı dizilerinin modellenmesi alanında çok egzotik değildir. Gizli Markov Modelleri , gözlemlenemeyen durumlu (ayrık, sonlu) bir Markov modelinin her durumu için bir çıkış filtresinden oluşan olasılıksal bir sistemin çıktısı olarak bir sayı sırasını modellemek için kullanılabilir. Filtreler, önceki çıktıların bir vektöründen ("otoregressive" model) bir sonraki gerçek değerli çıktısını hesaplar, ancak altta yatan Markov modeli sonludur, çünkü geçiş olasılıkları sadece mevcut Markov durumuna bağlıdır.

Bununla birlikte, bu makale ( tam metin ), geçiş olasılıklarının önceki çıktıların gerçek sayı vektörüne de bağlı olduğu bir varyasyon geliştirmektedir. Bu sistemin durumu, ayrık bir Markov durumunun ve gerçek sayıların bir demetinin ("karışık durum Markov modeli") birleşimidir, dolayısıyla sonsuz sayıda farklı durumda olabilir.

Kısacası, sonlu olmayan otomatlar teorik olarak iyi tanımlanmıştır ve bazen de karşılaşılmaktadır.

Sonlu bir otomatta, bir miktar titizlik vardır: durumların sayısı, altta yatan alfabenin boyutu ve makine tarafından kabul edilen dizgilerin uzunluğu.

Makinenin sonsuz sayıda duruma sahip olmasına izin vererek, bu şartlar üzerindeki incelik koşulunu kesinlikle gevşetebilirsiniz, ancak böyle bir makinenin herhangi bir dili kabul etmek üzere tasarlanabilmesi anlamında ortaya çıkan makine ilgi çekmez hale gelir.

Aslında, otomata teorisinde (Kleene, Rabin ve Scott'un kökenlerinden çokça ayrılan), sonlu olmayan birçok otomata türü vardır. Bu, çeşitli nedenlerle ortaya çıkar.

Örneğin, pushdown otomataları , sınırsız sayıda yapılandırma kümesine sahip otomatalardır (bunlar sınırlı sayıda duruma sahiptir, ancak gerçek şu ki bunların 'sonsuz otomatlar' olarak düşünülmesi gerekir).

Aynı damarda, durum alanının sonsuz olduğu fakat çok fazla yapıya sahip olduğu başka sonsuz otomata örnekleri de vardır. Örneğin, durum alanı olarak bir (sonlu boyut) vektör uzayına sahip bir otomata sınıfı ve geçiş fonksiyonları doğrusal haritalar (ve bazıları başlangıçta son şeyler) olarak kabul edilir. Bunlar bir baz alan üzerinde ağırlıklı otomatlar olarak bilinir (61'deki Schützenberger yüzünden). Bunlar eşitlik açısından en aza indirilebilir ve test edilebilir. Diğer örnekler, sicil otomatlarını (bu otomatların sınırlı bir kayıt kümesine sahip olması ve sonsuz bir alfabe üzerinde çalışılmasını içerir: bunlar kayıtları ve kayıtlardaki harfleri saklayabilirler) ve daha modern bir nominal otoma formu oluştururlar.(aynı ifadelere sahip, ancak daha iyi temellere ve özelliklere sahip). Bu tür otomatların boşluğu kesindir.

Ancak, sonlu durumlu otomatları incelemek için bile, sonsuz otomatlardan bahsetmek mantıklıdır. Gerçekten de, standart otomat morfizmi nosyonuyla donatılmış, belirli bir L dilini kabul eden sonlu durum deterministik otomata kategorisini göz önünde bulundurun , o zaman bu kategori bir başlangıç ​​ve son bir nesneye sahip olamaz. Eğer tüm deterministik (sayılabilen demek) otomata kategorisinde yaşamak Ancak, daha sonra bir ilk nesne (vardır otomat olmadığı için devletler , başlangıç durumuna o mektup okur boş kelime olarak halde it devlet gider Bir u u $A^*$$a$$u$$ua$ve bir devlet L'ye aitse kabul ediyor). Son bir nesne de var (dilleri olan!). Bu iki nesnenin varlığı, deterministik otomatların neden küçültülebildiğini ve Myhill-Nerode uyumu ile sıkı sıkıya bağlantılı olduğunu açıklamak için bir yoldur.

Sonuç olarak, sonsuz otomatalar vardır, ancak bir derste ilk kez çalışılan modeller daima sonlu durumlardır.

Bence asıl soru, sonsuz devlet otomatı olmadığı sonucuna varmaktır, sadece ortaya çıkmaya değmezler.

Otomata Teorisi'nde farklı sanal modellerin güçler hiyerarşisi vardır. Öğrendiğim 4 kişiydi (hatırlıyorum, bir süre oldu), Wikipedia'da bulduğumda 5 tane vardı. Her iki sonlu durum otomatında en zayıfı ve en güçlüsü Turing makineleri. Gevşek bir şekilde hiper hesaplama denilen Turing makinelerinden daha güçlü bir seviye kavramı var. Sanal makinelerin birçok farklı açıklaması bu seviyelerden birine girer. Turing makineleri, hepsi aynı hesaplama gücüne sahip sayısız model için biliniyor.

Resmen tanımlanmış en az biri olan sonsuz bir durum otomatı bu seviyelerden birine girecektir. Sonsuz durumlu bir otomatın kesin ve kesin bir tanımının bu seviyelerden birine nasıl uyduğunu göstermede biraz ilginç bir şey olabilir, ama bunun dışında, her bir seviyeyi temsil eden çok daha iyi çalışılmış sanal makineler olduğu için çok fazla bir faydası olmazdı. . Bir milyar Teyp Turing makinesine ne kadar ilgi göstermediğine benzer, çünkü bir Teyp Turing makinesinden daha güçlü olmayacak ancak başa çıkılması daha karmaşık olacaktır.

Şimdi, mevcut bir hiyerarşi seviyesine eşdeğer olmayan sonsuz bir devlet otomatı bulduğunuzda, bu ilginç olabilir. Ancak bu olmadan, sonsuz devlet otomatları zaten mevcut hiyerarşi içinde ele geçirilir ve sonsuzlukla başa çıkmanın ilave komplikasyonları göz önüne alındığında, aşırı karmaşık Turing makine modellerinden kaçındığımız gibi onlardan kaçınırız.

Deterministik sonlu durum makinesinin (saf) sonsuz versiyonu çok güçlüdür . Böyle bir şey, herhangi bir dili “ezberleyebilme” yeteneğine sahip olduğundan, onları düşünmekten öğrenilecek çok şey yoktur.

Örneğin, ikili bir alfabe üzerinde, sonsuz yükseklikte tam bir ikili ağaç şeklinde bir otomat düşünün. Girdi olarak kabul edebileceğiniz her olası dize, ağacın bir düğümüne benzersiz bir şekilde karşılık gelir, böylece ilgili düğümleri durumları kabul ederek basitçe herhangi bir dil için bir karar verici oluşturabilirsiniz.