Her zaman uzun bir şeye indirgeyen birçok algoritmik problem görüyorum:

Bir sahip tam sayı dizisi , bulmak gerekmektedir bu şekilde en üst düzeye çıkarır içinde süresi.$h[1..n]\geq 0$$i,j$$(h[j]-h[i])(j-i)$$O(n)$

Açıkçası zaman çözümü tüm çiftleri dikkate almaktır, ancak özellikleri hakkında başka bir şey bilmeden deki ifadeyi maksimize etmenin herhangi bir yolu var mı?$O(n^2)$$O(n)$$h$

Benim aklıma bir fikir düzeltme etmektir , o zaman bulmalıyız den kadar eşittir veya ve sabit olduğundan, .$j$$i^*$$1$$j-1$$\text{argmax}_i\{(h[j]-h[i])(j-i)\}$$\text{argmax}_i\{h[j]j-h[j]i-h[i]j+h[i]i\}$$j$$\text{argmax}_i\{-h[j]i-jh[i]+ih[i]\}$

Ancak, içindeki bağımlı terimlerden kurtulmanın bir yolunu göremiyorum . Herhangi bir yardım?$j$

Bu bir $O(n\log n)$çözüm. bir$O(n)$Willard Zhan'ın işaret ettiği çözüm bu cevabın sonuna eklenir.

$O(n\log n)$ çözüm

Convience için belirtin $f(i,j)=(h[j]-h[i])(j-i)$.

Tanımlamak $l_1=1$, ve $l_i$ en küçük endeks olmak $l_i>l_{i-1}$ ve $h[l_i]<h[l_{i-1}]$. Benzer şekilde,$r_1=n$, ve $r_i$ en büyük endeks olmak $r_i<r_{i-1}$ ve $h[r_i]>h[r_{i-1}]$. Diziler$l_1,l_2,...$ ve $r_1,r_2,\ldots$ hesaplaması kolaydır $O(n)$ saati.

Yok olan dava $i<j$ öyle ki $h[i]< h[j]$ (yani $f(i,j)>0$) is trivial. We now focus on non-trivial cases. In such cases, to find the solution, we only need to consider such pairs.

For each $i<j$ such that $h[i]<h[j]$, let $u$ be the largest index such that $l_u\le i$, and $v$ be the smallest index such that $r_v\ge j$, then $h[l_u]\le h[i]$ (otherwise $l_{u+1}\le i$ by definition of $l_{u+1}$, thus contradicts to the definition of $u$), and similarly $h[r_v]\ge h[j]$. Hence

Denote $v(u)=\arg\max_{v:\ l_u<r_v}f(l_u,r_v)$, we have the following lemma.

A pair $(l_u,r_v)$ where $l_u<r_v$, and where there exists $u_0$ such that $u<u_0$ and $v<v(u_0)$ or such that $u>u_0$ and $v>v(u_0)$, cannot be a final optimum solution.

Proof. According to the definition of $v(u_0)$, we have

$$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_{u_0}])(r_{v(u_0)}-l_{u_0}) \ge (h[r_v]-h[l_{u_0}])(r_v-l_{u_0}),$$ or $$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} \ge 0.$$

In the case where $u<u_0$ and $v<v(u_0)$, note $h[r_v]-h[r_{v(u_0)}]<0$ and $r_v-r_{v(u_0)}>0$, and also $l_u<l_{u_0}$ and $h[l_u]>h[l_{u_0}]$, we have

$$\begin{align*} &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})\\ >\ &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)}). \end{align*}$$

This means

$$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} > 0,$$ or $$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_u])(r_{v(u_0)}-l_u) > (h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u).$$

So $(l_u,r_{v(u_0)})$ is a strictly better solution than $(l_u,r_v)$. Proof for the other case is similar. $\blacksquare$

We can compute $v(\ell/2)$ firstly where $\ell$ is the length of the sequence $l_1,l_2,\ldots$, then recursively compute the optimal solution $o_1$ among $(l_u,r_v)$'s for $u=1,\ldots,\ell/2-1$ and $v=v(\ell/2),v(\ell/2)+1,\ldots$, and the optimal solution $o_2$ among $(l_u,r_v)$'s for $u=\ell/2+1,\ell/2+2,\ldots$ and $v=1,\dots,v(\ell/2)$. Due to the lemma, the global optimum solution must come from $\{(l_{\ell/2},r_{v(\ell/2)}),o_1,o_2\}$.

$O(n)$ Solution

Let $f(l_u,r_v)=-\infty$ if $l_u\ge r_v$. The proof of the lemma also shows an important property: for $u>u_0$ and $v>v_0$, if $f(l_{u_0},r_{v_0})\ge f(l_{u_0},r_v)$, then $f(l_u,r_{v_0})>f(l_u,r_v)$. This means the matrix $M[x,y]:=-f(l_x,r_{c-y+1})$ is a totally monotone matrix where $c$ is the length of the sequence $r_1,r_2,\ldots$ (so $r_{c-y+1}$ means the $y$-th element from the end), then SMAWK algorithm can apply to find the minimum value of $M$, thus the maximum value of $f$.