Otomatik teorem provatörleri tarafından ne tür matematik problemleri çözülebilir?

Mevcut otomatik teorem provatörlerini kullanarak aşağıdaki ifadeleri kanıtlayabilir miyim?

. $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$
Eğer , ardından . $11 \mid 2a-3b$ $11 \mid 7a-5b$
Eğer , o zaman $ax^2+bx+c=0$ . $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$
Eğer eşitse o zaman eşittir. $a$ $4a$

ve bunun gibi!

Bu soruyu soruyorum çünkü sadece teorem kanıtlayıcıların mantıktaki teoremleri kanıtlamadaki uygulamasını buldum.

automated-theorem-proving

— Matematik-fort
kaynak

Muhtemelen otomatik olmayacak olsa da, tüm standart kanıt asistanlarını kullanarak bunların tümünü (belki de yazılı olarak yanlış olan 3 hariç) kesinlikle kanıtlayabilirsiniz.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus. Teşekkürler! Peki otomatik olarak ne tür problemler çözülebilir?

— Math-fort

Bilgisayar Cebir Sistemleri tarafından sağlanan bir hizmet olmasına rağmen, ifadeleri otomatik olarak basitleştirebilirsiniz. Modern kanıt asistanlarının herhangi bir maddeyi otomatik olarak kanıtlayabileceklerini sanmıyorum, ancak uzmanlara sormak daha iyi.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Söylediklerinizin genellikle doğru olduğunu düşünüyorum, çünkü sadece otomatik bir kanıtlama yöntemi ilginç sonuçlar verdiğinde, bunu CAS'ın bir parçası olarak adlandırmaya hazırız ...

— Ayrık kertenkele

"(a + b) ^ 2 == a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab" Wolfram Alpha ile

— Alan kulüp

İfadelerinizin çoğu temel cebirdir, bu nedenle bunlar Maple veya Mathematica gibi bir bilgisayar cebir sistemi (CAS) tarafından otomatik olarak kanıtlanabilir.

(CAS'ın arkasındaki matematikle ilgileniyorsanız, Joachim von zur Gathen'in Modern Bilgisayar Cebiri ve güzel bir kitap olan Jürgen Gerhard kitabını, alanın 'incili' olarak kabul edilen bir kitabını tavsiye edebilirim)

Eğer ispat kesin olarak çözebilecek bir algoritmanın olduğu birkaç durumdan biri değilse, kanıtları temsil eden bir yapı üzerinde sezgisel arama yapma eğilimi gösteren otomatik teorem genellikle bir durumdur. Bu ifadelerin çok karmaşık olmadığı göz önüne alındığında, otomatik bir kanıtlayıcının bir kanıtı 'bulabilmesi' muhtemeldir.

Ancak, güzel algoritmalar olan ifadeler hakkında biraz daha söylemek ilginç olduğunu düşünüyorum:

İfade 3, bir polinom denkleminin (sistemi) kökleri hakkında (çok basit bir durumdur) ve Buchberger'in algoritması ile bir Gröbner temeli bularak çözülebilir . Gröbner temeli ve Buchberger'in algoritması, otomatik teorem kanıtlama için çok güzel araçlardır. Örneğin, problemi otomatik olarak bir polinom denkleminin kökünü akıllı bir şekilde bulmaya dönüştürerek geometride temel teoremleri otomatik olarak kanıtlayabiliriz!

Bir başka ilginç teorem sınıfı, nicelleştirici içermeyen Presburger aritmetiğinde ifade edilebilen ifadelerdir (özellikle, bu aritmetik çarpma olmadan, bu yüzden ifadeleriniz için geçerli değildir), çünkü algoritma olsa bile, tüm bu ifadeleri çözmek için bir algoritma vardır biraz yavaş.

— Ayrık kertenkele
kaynak