Kategori ve küme arasındaki anlamsal fark tam olarak nedir?

11

Bu soruda, set ve tip arasındaki farkın ne olduğunu sordum . Bu cevaplar gerçekten açıklayıcıydı (örneğin @AndrejBauer), bu yüzden bilgi susamamda, kategoriler hakkında aynı şeyi sorma cazibesine boyun eğiyorum:

Kategori teorisini her okuduğumda (kuşkusuz gayri resmi), set teorisinden somut olarak nasıl farklı olduğunu gerçekten anlayamıyorum .

Yani çoğunda somut tam ne yaptığını şekilde, bu ima hakkında $x$ o kategorisinde olduğunu söylemek , diyerek karşılaştırıldığında ? (örneğin, bir grup olduğunu söylemekle Category içinde olduğunu söylemek arasındaki fark nedir?). $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(Karşılaştırmayı en açık hale getiren herhangi bir kategori ve set seçebilirsiniz).

sets category-theory

— user56834
kaynak

Bu sorunun iyi biçimlendirildiğinden emin değilim. İlk önce 'x'in C kategorisinde olduğunu' ve 'x'in S setinde olduğunu' söylemek arasındaki farkın ne olduğunu sorarsınız. Ama sonra 'x Grp' kategorisinde 'x' bir gruptur 'kategorisinde sorma örneğini vermiş olursunuz. Ne? Bu sorunuzun bir örneği değil. Sorunuzun bir örneği, 'x Grp kategorisinde' ve 'x tüm grupların grubunda' arasındaki farkın ne olduğunu sormaktır. Ancak o zaman bile, kategoriler ve kümeler arasındaki farkların ne olduğunu sorup sormadığınızı gerçekten sormuyorsunuz.

— Miles Rout

11

Kısacası, set teorisi üyeliğe, kategori teorisi ise yapıyı koruyan dönüşümlere ilişkindir.

Küme teorisi sadece üyelik (yani bir unsur olmak) ve bununla ifade edilebilecek şeylerle (örneğin bir alt küme) ilgilidir. Elemanların veya kümelerin diğer özellikleri ile ilgilenmez.

Kategori teorisi belirli bir türden ne kadar matematiksel yapılar hakkında konuşmak için bir yoldur ¹ birbirlerine dönüştürülebilir ² Yapılarında bazı yönlerini korumak işlevleri tarafından; o türlerinin büyük bir aralığın konuşma için tek tip bir dil sağlar ¹ (! gruplar, otomatlar, vektör uzayı, kümeler, topolojik uzaylarda, ... ve hatta kategorilerde) matematiksel yapının ve bu tür içinde eşleştirmeleri ¹ . Her ne kadar yapılar arasındaki (gerçekten: yapının dayatıldığı kümeler arasında) eşlemelerin özelliklerini resmileştirse de, sadece haritaların ve yapıların soyut özellikleriyle ilgilenir ve onlara morfizm (veya oklar ) ve nesneler olarak adlandırır.; bu tür yapılandırılmış kümelerin öğeleri ne kategori teorisinin endişesi ne de bu kümelerdeki yapılar değildir. “ Bu bir teori nedir ” diye soruyorsunuz ; isteğe bağlı tip ¹ matematiksel nesnelerin yapı koruyucu eşlemelerinin bir teorisidir .

Bununla birlikte, Soyut kategoriler ³ teorisi , daha önce de belirtildiği gibi, söz konusu nesnelerin yapısını belirten kümeleri, işlemleri, ilişkileri ve aksiyomları tamamen görmezden gelir ve sadece bu tür yapıların nasıl korunduğu eşlemelerin nasıl konuşulacağı hakkında bir dil sağlar. davranış: hangi yapının korunduğunu bilmeden, bu iki haritanın birleşiminin de yapıyı koruduğunu biliyoruz. Bu nedenle, kategori teorisinin aksiyomları, morfizmlere ilişkin birleştirici bir kompozisyon yasasının olmasını ve benzer şekilde, her nesneden kendisine bir kimlik morfizmi olmasını gerektirir. Ama morfizimler aslında üstlenmez vardır onlar sadece bu setler arasındaki fonksiyonlar davranırlar onlar gibi.

Çalışılacaklar: Somut kategoriler , 'temel kategorinin' nesnelerine yapı ekleme fikrini modellemektedir; bu olduğunda bir sete grup çalışması gibi bir yapı eklediğimiz duruma sahip olabiliriz. Bu durumda, yapının belirli temel kategori açısından nasıl eklendiği hakkında daha fazla şey söylenebilir. $\mathsf{Set}$

İçin olduğu gibi etkileri için bir formülasyonları “deyişi, ” olduğu, bir grup olduğu “ (aslında bir grup kümesinin bir element” uygun sınıfı ) ya da “ içinde (bir nesne) olan (” ya da bir “ -Nesne”) mantıksal olarak aynı anlama geliyor, ama kategori hakkında konuşurken sen (grup homomorfizmalar içinde morfizimler ilgilendi anlaşılacağı ) ve belki de diğer Morfizm ile ortak noktası ne. Öte yandan, diyerek $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ bir grup, grubun yapısı (çarpma işlemi) veya belki grubun başka bir matematiksel nesne üzerinde nasıl hareket ettiği ile ilgilenmenizi önerebilir. Sen bahsetmek pek mümkün olacaktır kolayca yazabilirsiniz olsa grupların kümesine ait bazı belirli seti için ilgilendiğiniz grupların. $G$ $G ∈ S$ $S$

Ayrıca bakınız

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- Özellikle /math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
Soyut ve Somut Kategoriler: Adámek, Herrlich ve Strecker'dan Kedilerin Sevinci
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{Burada ve passim , tip teorisi anlamında tipten bahsetmiyorum, daha ziyade matematiksel nesnelerin / yapıların gerektirdiği bir dizi özelliğe, yani tatmin ettikleri bir aksiyom setine atıfta bulunuyorum. Normalde bunlar, yapıyı taşıdığı düşünülen setlerin unsurları üzerindeki bazı işlemlerin veya ilişkilerin davranışını tanımlar, ancak setlerin kendisinde ( ) setlerin kendilerinin ötesinde bir yapı yoktur. Her durumda, yukarıda belirtildiği gibi, kategori teorisi bu yapının detaylarını göz ardı eder. $\mathsf{Set}$}

² _{belki söylemek gerekir bütün halinde ya da kısmen bir başka : birinden homomorfizması sağlar (tamsayı) içine tarafından verilen (rationals) $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ . $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Nitelik olmadan, ' kategori ' normalde görebildiğim kadarıyla 1945'te tanıtılan ve 1960'larda geliştirilen 'soyut kategori' anlamına gelirken, Beton kategorileri 1970'lerde görünmektedir.}

— PJTraill
kaynak

Bunun retorik olup olmadığından emin değilim, ama kesinlikle uygun bir grup sınıf var. Örneğin, her set o seti içeren tekli sette önemsiz bir gruba yol açar. Ayrıca, uygun bir sınıf izomorfik olmayan örnekler de üretebilirsiniz.

— Derek Elkins SE

Teşekkür ederim. "Bu, keyfi tipte matematiksel nesnelerin yapı koruma eşlemeleri teorisidir " derken, tip teorisi anlamında "tip" mi, yoksa daha gayri resmi?

— user56834

@ Programmer2134: Tür kafa karıştırıcıysa özür dilerim (merak ettim); Ben teoriyi (hangi ı biraz biliyorum) değil, demek tip başvurmak istemem özelliklerinin belli bir set ile matematiksel nesneler / yapılar tarafından (yani belirli aksiyomu sağlayan) belirli bir türden matematiksel nesneler / yapılar .

— PJTraill

Bu açıklığa kavuşuyor. Kategori teorisi de böyle aksiyomların olduğunu ve bu nesnelerin hepsinin bu aksiyomları karşıladığını varsayar mı, yoksa sadece kategorileri tanımlamak için kullandığımız meta bir kriter midir (yani kategori teorisi çerçevesine meta)?

— user56834

@ Programmer2134: Hayır, kategori teorisi aksiyomları tamamen görmezden gelir ve sadece böyle bir yapıyı koruyan eşlemeler hakkında konuşmak için bir dil sağlar: hangi yapının korunduğunu bilmeden, bu iki haritanın birleşiminin de yapıyı koruduğunu biliyoruz. Bu nedenle, kategori teorisinin aksiyomları , morfizmlere ilişkin birleştirici bir kompozisyon yasasının olmasını ve benzer şekilde, her nesneden kendisine bir kimlik morfizmi olmasını gerektirir. Ama yok değil morfizimler aslında farz olan onlar sadece bu setler arasındaki fonksiyonlar davranırlar onlar gibi.

— PJTraill

5

Kategori teorisi bir anlamda küme teorisinin bir genellemesidir: kategorisi kümelerin kategorisi olabilir veya başka bir şey olabilir. Yani, öğrenmek daha az Bunu öğrenirseniz bunu öğrenirseniz daha belirtilmeyen bazı kategorisinde bir nesnedir (ikinci durumda o izlediğinden bir dizi olan setleri özellikle kategorisinde bir nesnedir). Bunu öğrendiğimizde bir bir nesnedir özellikle (setlerinin kategorisinde hariç) belirtilen kategori, ne öğrendikleri öğrenme farklıdır kümesidir (yani setleri kategorisinde bir nesne); ikisi de diğerini ima etmez. $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

bir grup olduğunu söylemekle Grp kategorisindeki bir nesne olduğunu söylemek arasında hiçbir fark yoktur . Bu iki ifade eşdeğerdir. $x$ $x$

Not: Grp kategorisinde olduğunu söylemiyoruz ; Grp kategorisindeki bir nesne olduğunu söylüyoruz . Bir kategoride hem nesneler hem de oklar bulunur. Hangisinden bahsettiğinizi belirtmeniz gerekir. $x$ $x$

— DW
kaynak

@AndrejBrauer'ın diğer soruma verdiği cevapta olduğu gibi kategorileri setler ve türlerle karşılaştıralım. Küme, bir nesne koleksiyonu kavramını resmileştirir. Bir tür, nesnelerin inşası kavramını resmileştirir. "Kategori" hangi kavramı şekillendirir? Kategori teorisi bir teori nedir matematiksel işlem / yapıdır ait ?

— user56834

"Yani,

belirtilmemiş bir kategorideki bir nesne olduğunu öğrenirseniz,

bir küme olduğunu öğrenirseniz daha az öğrenirsiniz ". "Bir küme" ile "belirtilmemiş bazı kümelerin bir üyesi" olarak değiştirirseniz, bu ifade nasıl değişir? Belirtilmemiş bir kategorinin nesnesi olduğunu söyleyerek

herhangi bir kısıtlama getirebilir miyiz ? Elbette

tek nesne olduğu bir kategori oluşturabilir miyiz ?

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— user56834

@ Programmer2134, bu iyi bir nokta. Mantıklı. Demek istediğini kabul ediyorum.

— DW

4

DW'nin açıklamasıyla ilgili başka bir nokta

bir grup olduğunu söylemekle kategorisindeki bir nesne olduğunu söylemek arasında bir fark yoktur . Bu iki ifade eşdeğerdir. $x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

Daha güçlü bir açıklama yapmak istiyorum:

Bir kavram kategorisine göre tanımlanır

Bunu, konseptini açıklamak isteyen bir mucidin bakış açısından düşünün. Diyelim ki yeni konseptinize deniyor . İlk olarak, olan şeylerin kaç çeşit varyasyonu olabileceğini belirtmeniz gerekebilir . Bu koleksiyona diyelim . $M$ $M$ $M_0$

Şimdi olan birçok şey olduğunu söylediğinizden, her birini birbiriyle karşılaştırır / ilişkilendirir açıklamalısınız. Sizce neden farklı örnekleri olduğunu düşünüyorsunuz . ile karşılaştırılmasının birden fazla yolu bile olabilir . Veya bazı durumlarda, bunları karşılaştırmanın bir yolu olmayabilir. Yollardan toplama karşılaştırmak o edelim göstermektedirler için olarak . $M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

Muhtemelen nesnelerin koleksiyonunu oluşturduğunu ve bir kategorinin başlangıç noktası olduğunu fark etmişsinizdir. Daha sonra kategori teorisi yasaları beklenen 'karşılaştırma' davranışını ortaya koyar. $M_0$ $M(A,B)$

Bunu yaptıktan sonra, kategori size kavramın birçok varsayılan özelliğini verir. Örnekler

"hangi örneklerin aslında aynı olduğu - izomorfizm",
"bu iki örnekten hangisi daha fazla ve hangisi daha az --- bölüm geri çekme çifti",
"Bu örneğin içinde kaç temel öğe var? --- terminal nesnesinden homset"

ve bunun gibi.

Yorumda sorduğunuz soruya gelince

Kategori teorisi hangi matematiksel süreç / yapı teorisidir?

$\mathsf{Cat}$

— Apiwat Chantawibul
kaynak

Hmm. Bir yapının kategorisini biliyorsak, o yapı hakkında her şeyi nasıl bildiğimizi tam olarak anlamıyorum. Yapının hangi aksiyomları tatmin ettiğini bilmiyoruz değil mi?

— user56834

@ Programmer2134 Tom Leinster'ın (Lawvere'nin çalışmasının bir özeti) set teorisini yeniden düşünmek iyi bir örnektir. Çalışma, set teorisinin kendisini, setler kategorisinin özelliklerini (morfizmleri) tanımlayarak tanımlar (setler hakkında sahip olabileceğimiz önceden var olan herhangi bir varsayıma erişmek için herhangi bir nesneye 'içeride' erişmeden).

— Apiwat Chantawibul

Yani aksiyomlarını unuturken, sadece setlerin kategorisini göz önünde bulundurarak set teorisi hakkında hiçbir bilginin kaybolmadığını mı söylüyorsunuz?

— user56834

@ Programmer2134 Evet, aslında, ZFC set teorisini tamamen morfizmlerin özelliklerine tercüme eden aksiyomlara benziyor. Dolayısıyla, morfizmler üzerinde bazı özelliklere sahip olduğunu iddia ettiğimiz bu kategori, küme teorisini tanımlar.

— Apiwat Chantawibul

Kategori teorisi ile ilgili bu noktayı açık bir şekilde açıklayan bir metin biliyor musunuz?

— user56834

1

Setler

x \in bir

$x\in A$

Diğer kavramlar. Fonksiyon, üyelik ilişkisi açısından bir kümesi olarak açıklanmaktadır. $f$

(x, y) \in f ve (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

Felsefe. Setler bir iç yapıya sahiptir - tamamen elemanları tarafından belirlenir.

Remark. Set kuramcıları tarafından yaygın olarak kullanılan aksiyomatik bir sistem ZFC'dir. Gücü basitliktir: sadece setler ve bir üyelik ilişkisi vardır. Öte yandan birçok matematikçi bunun setleri anlama ve kullanmalarından farklılaşan bir set kavramına yol açtığını düşünmektedir ( Leinster'in altında karşılaştırın ). Aslında matematikçilerin büyük çoğunluğu (belirli teorisyenler hariç) ZFC aksiyomlarını kullanmıyor gibi görünüyor. Bununla birlikte, kümeler mutlaka ZFC'ye başvurmaz (aşağıdaki kategorilere ve ETCS'ye bakın).

Kategoriler

bir \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

x : 1 \to bir

$x:1\rightarrow A$

Felsefe. Bir kategorideki nesnelerin a priori iç yapısı yoktur. Sadece diğer nesnelerle ilişkileri (morfizmleri) ile karakterize edilirler.

Remark. Kategorilerin temel kavramı işlevdir ve bu, matematikçilerin büyük çoğunluğunun setlerin kullanımı ile çakışır. Bu nedenle kategorileri, çok farklı alanlardan (çoğu) matematikçinin günlük çalışmalarında kümeleri kullanma biçiminin kavramsal bir genellemesi olarak görebilirsiniz. Genelleme olarak kategoriler (ve toposlar) dışında, aksiyomatikleştirici setler olan aksiyomatik sistem ETCS'ye bakabilirsiniz ( Leinster ve Lawvere'nin altında karşılaştırın ).

Soru. X'in bir grup olduğunu söylemenin, x'in Kategori Grp'de olduğunu söylemenin farkı nedir?

$x$ $x$

Eleştirmenler

ZFC ve ETCS durumunda, ETCS ZFC'den daha zayıf olmasına rağmen (görünüşte) çoğu matematiği kapsamasına rağmen bu yaklaşımlar birbirine dönüştürülebilir (bkz. MathStackExchange ve Leinster). Prensip olarak (ETCS'nin bir uzantısını kullanarak) her iki yaklaşımda da aynı sonuçları kanıtlayabilirsiniz. Dolayısıyla, her iki kavramın yukarıda bahsedilen felsefeleri, neyi ifade edebileceğiniz veya hangi sonuçları kanıtlayabileceğiniz konusunda temel bir ayrım iddiasında değildir.

İfadeleri ayarlamak ve üyelik ZFC sadece kategorilerin konseptleri veya başka herhangi bir aksiyomatik sistemi gibi soyut kavramlardır ve bir şey anlamına gelebilir. Bu resmi bakış açısından, iddia etmek gerekirse, ZFC'nin kümelerin iç yapısı ile ilgiliyken, kategorilerin nesnelerin birbirleriyle dış ilişkileri ile ilgilenen kategoriler uygun görünmemektedir. Öte yandan bu, ilgili teorilerin felsefesi veya sezgisi gibi görünmektedir.

Bununla birlikte, uygulamada, örneğin açıklık ya da basitlik amacıyla ya da bir kavram ya da başka bir alanla olan bağlantı başka bir yerden daha doğal olarak geliştiği için belirli bir Yaklaşım'ı tercih edersiniz.

Referanslar

Bilim adamları için kategori teorisi

Leinster. Yeniden düşünen set teorisi

Kümeler kategorisinin temel teorisi

Setsiz MathStackExchange.Category teorisi

— FWE
kaynak