Kısacası, set teorisi üyeliğe, kategori teorisi ise yapıyı koruyan dönüşümlere ilişkindir.
Küme teorisi sadece üyelik (yani bir unsur olmak) ve bununla ifade edilebilecek şeylerle (örneğin bir alt küme) ilgilidir. Elemanların veya kümelerin diğer özellikleri ile ilgilenmez.
Kategori teorisi belirli bir türden ne kadar matematiksel yapılar hakkında konuşmak için bir yoldur 1 birbirlerine dönüştürülebilir 2 Yapılarında bazı yönlerini korumak işlevleri tarafından; o türlerinin büyük bir aralığın konuşma için tek tip bir dil sağlar 1 (! gruplar, otomatlar, vektör uzayı, kümeler, topolojik uzaylarda, ... ve hatta kategorilerde) matematiksel yapının ve bu tür içinde eşleştirmeleri 1 . Her ne kadar yapılar arasındaki (gerçekten: yapının dayatıldığı kümeler arasında) eşlemelerin özelliklerini resmileştirse de, sadece haritaların ve yapıların soyut özellikleriyle ilgilenir ve onlara morfizm (veya oklar ) ve nesneler olarak adlandırır.; bu tür yapılandırılmış kümelerin öğeleri ne kategori teorisinin endişesi ne de bu kümelerdeki yapılar değildir. “ Bu bir teori nedir ” diye soruyorsunuz ; isteğe bağlı tip 1 matematiksel nesnelerin yapı koruyucu eşlemelerinin bir teorisidir .
Bununla birlikte, Soyut kategoriler 3 teorisi , daha önce de belirtildiği gibi, söz konusu nesnelerin yapısını belirten kümeleri, işlemleri, ilişkileri ve aksiyomları tamamen görmezden gelir ve sadece bu tür yapıların nasıl korunduğu eşlemelerin nasıl konuşulacağı hakkında bir dil sağlar. davranış: hangi yapının korunduğunu bilmeden, bu iki haritanın birleşiminin de yapıyı koruduğunu biliyoruz. Bu nedenle, kategori teorisinin aksiyomları, morfizmlere ilişkin birleştirici bir kompozisyon yasasının olmasını ve benzer şekilde, her nesneden kendisine bir kimlik morfizmi olmasını gerektirir. Ama morfizimler aslında üstlenmez vardır onlar sadece bu setler arasındaki fonksiyonlar davranırlar onlar gibi.
Çalışılacaklar: Somut kategoriler , 'temel kategorinin' nesnelerine yapı ekleme fikrini modellemektedir; bu olduğunda bir sete grup çalışması gibi bir yapı eklediğimiz duruma sahip olabiliriz. Bu durumda, yapının belirli temel kategori açısından nasıl eklendiği hakkında daha fazla şey söylenebilir.Set
İçin olduğu gibi etkileri için bir formülasyonları “deyişi, ” olduğu, bir grup olduğu “ G (aslında bir grup kümesinin bir element” uygun sınıfı ) ya da “ G, içinde (bir nesne) olan G r p (” ya da bir “ G r p -Nesne”) mantıksal olarak aynı anlama geliyor, ama kategori hakkında konuşurken sen (grup homomorfizmalar içinde morfizimler ilgilendi anlaşılacağı G r p ) ve belki de diğer Morfizm ile ortak noktası ne. Öte yandan, G diyerekGGGGrpGrpG r pG,bir grup, grubun yapısı (çarpma işlemi) veya belki grubun başka bir matematiksel nesne üzerinde nasıl hareket ettiği ile ilgilenmenizi önerebilir. Sen bahsetmek pek mümkün olacaktır kolayca yazabilirsiniz olsa grupların kümesine ait G ∈ S bazı belirli seti için S ilgilendiğiniz grupların.G,G ∈ SS
Ayrıca bakınız
1 Burada ve passim , tip teorisi anlamında tipten bahsetmiyorum, daha ziyade matematiksel nesnelerin / yapıların gerektirdiği bir dizi özelliğe, yani tatmin ettikleri bir aksiyom setine atıfta bulunuyorum. Normalde bunlar, yapıyı taşıdığı düşünülen setlerin unsurları üzerindeki bazı işlemlerin veya ilişkilerin davranışını tanımlar, ancak setlerin kendisinde ( ) setlerin kendilerinin ötesinde bir yapı yoktur. Her durumda, yukarıda belirtildiği gibi, kategori teorisi bu yapının detaylarını göz ardı eder.S e t
2 belki söylemek gerekir bütün halinde ya da kısmen bir başka : birinden homomorfizması sağlar (tamsayı) içine S tarafından verilen (rationals) n ↦ nZ S .n ↦ n2
3 Nitelik olmadan, ' kategori ' normalde görebildiğim kadarıyla 1945'te tanıtılan ve 1960'larda geliştirilen 'soyut kategori' anlamına gelirken, Beton kategorileri 1970'lerde görünmektedir.