Belirli bir algoritmanın asimptotik olarak optimal olup olmadığına karar vermek mümkün müdür?

Aşağıdaki sorun için bir algoritma var mı:

Turing makinesi verilen dil karar , Turing makinesi mi karar olacak şekilde ? $M_1$ $L$
$M_2$ $L$ $t_2(n) = o(t_1(n))$

Fonksiyonları ve Turing makineleri kez çalışan en kötü durum olan ve , sırasıyla. $t_1$ $t_2$ $M_1$ $M_2$

Uzay karmaşıklığı ne olacak?

— StaticBug
kaynak

Cevap kesinlikle değil. Bir TM'nin en kötü çalışma süresinin belirlenmesinin kararsız olduğu bilinmektedir.

— chazisop

Daha genel bir soru .

— Raphael

Yanıtlar:

Burada kararsız olduklarını göstermek için basit bir argüman var, yani belirli bir algoritmanın çalışma zamanı veya bellek kullanımı ile ilgili en uygun olup olmadığını kontrol etmek için hiçbir algoritma yok.

Boş banttaki durma sorununu çalışma zamanı en iyi duruma getirme sorununuza indiriyoruz.

Let , belirli bir Turing makinesi olabilir. N şu Turing makinesi olsun: $M$

: girişinde 1. (en fazla) adımdaboş banttaçalıştırın. 2. adımdadurmazsa, büyüklüğünde bir döngü çalıştırın, sonra NO döndürün. 3. Aksi takdirde, YES'i iade edin. $N$ $n$
$M$ $n$
$M$ $n$ $2^n$

İki durum söz konusudur:

Eğer boş bant üzerinde durdurmaz, makine çalışacaktır giriş ilgili adımlar . Böylece çalışma süresi . Bu durumda, açık bir şekilde optimal değildir. $M$ $N$ $\Theta(2^n)$ $n$ $\Theta(2^n)$ $N$
Eğer boş bant üzerinde duraklamalara, makine , tüm yeterince büyük adımlarından sabit sayıda çalışacaktır çalışma süresi bu yüzden, . Bu durumda, açıkça en uygunudur. $M$ $N$ $n$ $O(1)$ $N$

Kısacası:

M halts on blank tape \Leftrightarrow N is optimial

$M \text{ halts on blank tape } \Leftrightarrow N \text{ is optimial }$

Ayrıca kodu verildiğinde kodunu hesaplayabiliriz . Bu nedenle boş kasetteki durma probleminden çalışma zamanı optimallik problemine indirgiyoruz. Belirli bir Turing makinesi optimal olup olmadığına karar verebilirsek , belirli bir makine boş bantta durup durmadığını kontrol etmek için yukarıdaki indirimi kullanabiliriz . Boş kasette durma işlemi doğrulanamadığından, sorununuz da kararsızdır. $M$ $N$ $N$ $M$

Uzay için benzer bir argüman kullanılabilir, yani belirli bir Turing makinesinin kullandığı alan için en uygun olup olmadığını kontrol etmek de kararsızdır.

Daha güçlü bir ifade bile doğrudur: Belirli bir hesaplanabilir fonksiyonun, belirli bir hesaplanabilir fonksiyon hesaplamanın zaman karmaşıklığında üst sınır olup olmadığına karar veremeyiz. Uzay için de benzer şekilde. Yani temel karmaşıklık teorisi bile algoritmalar tarafından otomatikleştirilemez (karmaşıklık teorisyenleri için iyi bir haber olarak düşünülebilir;).

— Kaveh
kaynak

Sadece orijinal soruda OP'nin

dilde ikinci dereceden bir sürede karar verdiğini varsaydığını belirtmek isterim .

M_{1}

$M_1$

— Pål GD

Lütfen asimtotik optimumluğa baktığınızı açıklığa kavuşturun . Durum 2'de bile,

n

$n$ kesinlikle optimal değildir ; fonksiyon

ise, tek bir adımda hesaplanabilir

fazla ihtiyaç

(büyük için

ile)

hesaplama uzunluğu

boş bant üzerinde.

n \mapsto YES

$n \mapsto \textrm{YES}$

N

$N$

n_{0}

$n_0$

n

$n$

n_{0}

$n_0$

M

$M$

— Raphael

Ah, soru son okuduğumdan beri değişti. Boşver.

— Raphael

@ PålGD, OP'nin bir örnek olarak kullandığını düşünüyorum (cstheory'de yayınlanan orijinal soruya dayanarak). Bu sorunun altındaki yorumları kontrol edebilirsiniz.

— Kaveh

Diğerlerinin de belirttiği gibi cevap hayır.

Ancak Blum'un " Özyinelemeli İşlevlerin Karmaşıklığına ilişkin Makinadan Bağımsız bir teori " tarafından yazılmış ilginç bir makale var . O gösterdi olursa olsun ne kadar hızlı bir program başka bir program çok daha hızlı onları hesaplama için var bu fonksiyonları hesaplamak için olabileceğini özelliğiyle bazı fonksiyonlar vardır .

çok güzel bir özellik!

— Rıza
kaynak

-3

Ha! Cevap evet olsaydı, farklı bir dünyada yaşıyor olurduk.

Sorunuzun cevabının evet olduğunu düşünün (ve elbette sorunuzu cevaplayacak algoritmasını biliyorduk ), sonra dili için herhangi bir algoritması için optimal olup olmadığını söyleyebiliriz ( kullanarak ) ya da değil. $A_0$ $A$ $L$ $A_0$ $A$

Ne yazık ki, bu mümkün değil ve aslında şahsen bilgisayar bilimindeki en ilginç (ve zor) problem olduğunu kanıtlamak (önemsiz değil). Bildiğim kadarıyla - düzeltilmekten memnuniyet duyarım - herhangi bir polinom problemi için herhangi bir iyimserlik sonucu yoktur (giriş boyutu ile orantılı zaman alan algoritmaların önemsiz iyimserlik sonuçları hariç).

— t'ye t
kaynak

Ω (N)

$\Omega(N)$

Birincisi, "asimptotik olarak optimal", "optimal" ile aynı değildir. İkincisi, soruyu cevaplamıyorsunuz. Üçüncüsü, var

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

@vonbrand - girdi boyutuyla orantılı alan algoritmalarla kastediyorum.

— t to the t

@ttothet Tamam, korkarım meyvesiz olacak ama tekrar deneyeceğim. 1) Hayır, hiç değil. Her girişe yalnızca bir adım kaydederseniz, aynı asimptotik çalışma süresine sahip olmasına rağmen öncekinden daha iyi bir algoritmaya sahipsiniz. 2) Hayır, yoktur. Bu aynı zamanda "Bilmiyorum ama evet ise X" anlamına da gelebilir. Bu nadir değildir (cf P? = NP). 3) yapıldığını iddia eden hiçbir önemsiz olmayan alt sınır (asimptotikler üzerine sanırım) hiç . Bu yanlış. Ödevini yap lütfen.

— Raphael

@ MartinJonáš 2 bantlı bir Turing makinesi kastediyorum. Kaveh bir noktaya sahiptir, zaman hiyerarşi teoreminin kanıtı, keyfi olarak yüksek karmaşıklığa sahip çoklu zamanlı çözülebilir problemler verir, ancak örnekler tam olarak doğal değildir ve çok açık hissetmezler. Ayrıca, olasılıklı zaman için hiçbir hiyerarşi bilinmemektedir, bu yüzden gerçekten hiçbir şeyimiz yoktur.

— Sasho Nikolov