Sıralama konusunda ilginç bir problem

Numaralı topları olan bir tüp verildi (rastgele). Tüpün bir topu çıkarmak için delikleri vardır. Bir işlem için aşağıdaki adımları göz önünde bulundurun:

1. Deliklerden bir veya daha fazla top seçebilir ve topları seçtiğiniz sırayı hatırlayabilirsiniz.
2. Borudaki kalan topların sola doğru kayması ve topların çıkarılmasıyla oluşturulan boş alanı işgal etmesi için boruyu sol tarafa doğru eğmeniz gerekir.
3. Numaralandırılmış topları borudan aldığınız sırayı değiştirmenize gerek yoktur. Şimdi topların hareketiyle yaratılan boş alanı kullanarak tekrar boruya koydunuz.

1-3 arası adımlar bir işlem olarak kabul edilir.

Numaralı topları artan düzende sıralamak için gereken minimum işlemleri öğrenin.

Örneğin: Tüp aşağıdakileri içeriyorsa:$[1\ 4\ 2\ 3\ 5\ 6]$

Sonra ve ve çıkarabiliriz ve boruyu sola yatırırsak, alırız ve almak için borunun sonuna ekleriz .5 6 [ 1 2 3 ] ( 4 5 6 ) [ 1 2 3 4 5 6 $4$$5$$6$$[1\ 2\ 3]$$(4\ 5\ 6)$$[1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6]$

Minimum adım sayısı 1'dir. Boruyu sıralamak için minimum işlemleri bulmam gerekiyor.

Bu sorunun nasıl çözüleceğine dair herhangi bir fikir veya ipucu var mı?

Tanımlama çalıştırma bölüm numarasını bir permütasyon arasında , gösterilen , aşağıdaki işlem kullanılarak,. Let numaralama şekilde tamsayı maksimal olması düzeni artan görünür . Bunları kaldırın ve işlemi tekrarlayın. Tüm permütasyonu tüketmek için gereken tur sayısı .$\pi$$r(\pi)$$k$$\min(\pi),\ldots,k$$\pi$$\pi$$r(\pi)$

Örneğin, hesaplayalım . Biz ilk kenara olsun, . Sonra kenara almak için, . Sonra almak için kenara . Sonunda boş permütasyonu almak için kenara bıraktık. Bu dört tur sürer, bu nedenle .$r(62735814)$$1$$6273584$$234$$6758$$5$$678$$678$$r(62735814) = 4$

Bu gösterim sıralamak için nasıl faydalıdır ? Her ikinci koşuyu, yani alın ve almak için bu sayıları sağa hareket ettirin (düzenle: permütasyonda göründükleri sırayla, yani ). Şimdi orada yani sadece iki çalışır vardır olup kaçmaya göre sıralayabilirsiniz sağa.$62735814$$234,678$$51627384$$627384$$1234,5678$$5678$

Şimdi şu varsayımı yapmama izin verin: , , bir hamlede erişilebilen tüm permütasyonlar kümesi olsun . Sonra .$\pi$$\Pi$$\pi$$\min_{\alpha \in \Pi} r(\alpha) = \lceil r(\pi)/2 \rceil$

Bu varsayım göz önüne alındığında, bir permütasyon sıralamak için gereken hamle minimum sayıda olduğunu göstermek kolaydır edilir ve ben tüm permütasyon için bu formülü doğruladıktan için .$\pi$$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$$S_n$$n \leq 8$

Düzenleme: İşte onu hesaplamak için doğrusal bir zaman algoritması veren ve böylece benim tahmin bir kanıt çizmek, böylece formül doğrulamak çalışma bölümü numarasının farklı bir yorum .$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$

permütasyonunu tekrar düşünün . İlk çalıştırma uçları nedeni olmasıdır önce görünür . Benzer şekilde, ikinci çalışma sona erer, çünkü önce görünür ve bu böyle devam eder. Bu nedenle, bir permütasyon çalıştırma bölüm numarası sayısıdır s şekilde önce görüntülenen .$62735814$$1$$2$$1$$4$$5$$4$$i$$i+1$$i$

Permütasyonun tersine bakarsak, bunu daha özlü bir şekilde ifade edebiliriz. Tekrar düşünün . Al . Bu permütasyonun üç inişi vardır: (iniş, öncekinden daha küçük bir konumdur). Her iniş yeni bir koşunun başlangıcına karşılık gelir. Yani bir artı artı deki iniş sayısına eşittir .$\pi = 62735814$$\pi^{-1} = 72485136$$7\mathbf{2}48\mathbf{5}\mathbf{1}36$$r(\pi)$$\pi^{-1}$

İşlem açısından neye benziyor ? let sağa doğru hareket ettiklerini sayıların kümesi ve sayıların kümesi sola kalmak söyledi. Biz numaraları yerine üzerinde bir permütasyon ile göreli düzeni temsil ve sayıları yerine üzerinde bir permütasyon ile . Örneğin, . Ters permütasyonlar açısından, . Yani , ile eşlendi$\pi^{-1}$$B$$A$$A$$\{1,\ldots,|A|\}$$B$$\{|A|+1,\ldots,|A|+|B|\}$$\mathbf{6273}5\mathbf{8}1\mathbf{4} \mapsto 51\mathbf{627384}$$7\mathbf{248}5\mathbf{136} \mapsto 2\mathbf{468}1\mathbf{357}$$75$$21$ve haritası çizilmiştir .$248136$$468357$

Bir iniş içinde işleminden sonra kaybolur sadece ve . Tersine, cinsinden, ve bölme runlarına ve -runlarına karşılık gelir ; her bir koşusu bittiğinde ve bir koşusu başladığında, bir iniş vardır. Bir inişi "öldürmek" için run'dan -run'a geçmek zorundayız . İki inişi öldürürsek, ortasından run'dan run'a geçip inişe geçeceğiz .$\ldots xy \ldots$$\pi^{-1}$$x \in A$$y \in B$$\pi^{-1}$$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$B$$B$$A$

Bu tez, eğer göstermek için şekilsel olarak doğar bir işlem ile, daha sonra , iniş sayısıdır. Bu, , böylece varsayımımın bir yönünü kanıtlar. Diğer yön daha kolaydır ve yukarıda ana hatlarıyla belirtilmiştir: sadece her ikinci koşuyu alırız ve bu çalışmaları tatmin edici almak için sağa doğru .$\alpha$$\pi$$d(\alpha^{-1}) \geq \lfloor d(\pi^{-1})/2 \rfloor$$d(\cdot)$$r(\alpha) \geq \lceil r(\pi)/2 \rceil$$\alpha$$r(\alpha) = \lceil r(\pi/2) \rceil$