Eşsiz kareler eğimi

-square'i iki tür fayans kullanarak döşemek istiyoruz : -square kiremit ve -sare kiremit, üstteki her kare üst üste binmeden kaplanacak şekilde. -squares ve herhangi bir sayıda -squares kullanarak benzersiz şekilde eğilebilir en büyük karenin büyüklüğünü veren işlevini tanımlayalım . $m\times m$ $1 \times 1$ $2 \times 2$ $f(n)$ $n$ $1\times 1$ $2 \times 2$

Bu işlev hesaplanabilir mi? Algoritma nedir?

Edit1: Steven'ın yanıt dayanarak, yerleştirmek için tek yönlü benzersiz fayans araçları olduğunu içeride -squares pozisyonları için eşsiz bir yapılandırma ile -Square -squares içeride kare. $2 \times 2$ $m \times m$ $n$ $1 \times 1$ $m \times m$

computability combinatorics

— Muhammed El-Türkistan
kaynak

Benzersiz bir tilling nasıl tanımlanır? Örneğin, 4 simetrik olay olabilir. Benzersiz mi olacaklar mı değil mi?

— Paresh

Simetrik eğimler tek bir yapılandırma olarak sayılır.

— Mohammad Al-Turkistany

kullanılarak 1 olarak-1 kareler kullanılarak veya en fazla ? aksi takdirde her zaman tanımlanmaz: 2 1 x 1 karo ve herhangi bir sayıda 2 x 2 karo içeren herhangi bir kareyi döşeyemezsiniz, çünkü alan ve 2 kuadratik kalıntı modulo 4 değildir. Simetrilerle mi demek ?

n $n$

f $f$

4x+2 $4x + 2$

D4 $D_4$

— Sasho Nikolov

Tamam. Bu durumlarda tanımlayın . Dihedral grup D4'e aşina değilim.

f(n)=0 $f(n)=0$

— Mohammad Al-Turkistany

Korkarım ki hala bir kayıptayım - bir örnek belki de anlamaya yardımcı olmak için uzun bir yol kat eder. Verilen cevap soruyu nasıl cevaplamıyor?

— Steven Stadnicki

İşte yorumlarda spekülasyonumu kanıtlayan bir argüman, kare olmayan herhangi bir için böyle benzersiz bir hareket olmadığını . İlk olarak, Sasho tarafından yorumlarda belirtildiği gibi, sınırlandırılmalıdır, çünkü veya ise bu tür yoktur . Eğer mükemmel bir kare ise, karesi benzersiz bir şekilde eğilebilirdir, bu nedenle bu durumlarda açıkça tanımlanır ve sıfırdan farklıdır. Argümanı tamamlamak için, veya daha fazla kutucuğu içeren hiçbir döşemenin benzersiz olamayacağını göstermek için kalır . $n\gt 5$ $n$ $n\equiv2$ $3\pmod 4$ $n$ $n=k^2$ $k\times k$ $f(n)$ $1$ $2\times 2$

İlk olarak, , diyelim . Eğer döşemeyi kullanarak karenin bir döşememiz varsa , eşit olmalıdır ; sonra fayans fayans ve daha sonra bunların fayans 'bloklar' ile değiştirerek inşa edebilirsiniz . Tek bir olduğu veya hariç, farklı değiştirmelerin her zaman farklı eğimlere yol açabileceği açıktır. $n\equiv 0\pmod 4$ $n=4k$ $m\times m$ $n\ 1\times 1$ $m$ $m=2j$ $j\times j$ $2\times2$ $k$ $1\times 1$ $m=4, n=12$ $m=4, n=4$ $2\times 2$ karo veya tek bir 'dört blok' kaldı; Ancak bu durumlarda, köşeye değil, kenarın ortasına karo koyan farklı bir eşdeğer olmayan döşeme vardır . $2\times 2$

Son olarak, , özellikle olduğunu varsayın (ve ile, aşağıdaki argümanın geçmesi için meydanda 'yeterli alanın olmadığı' biraz önemsiz bir durumu önlemek için ). Daha sonra hiçbir boyutta kare veya daha küçük bir şekilde tileable olamaz: karenin üst kısmında ve karenin sağında fayanslı bir döşeme düşünün (ekstra fayans ile) sadece sağ tarafa sıkıştılar - argümanı etkileyemezler). Şimdi karenin sol üst köşesindeki 'blok' (üstteki iki döşemeden ve $n\equiv 1\pmod 4$ $n=4t+1$ $t\gt 1$ $(2t+1)^2$ $1\times 1$ $1\times 1$ $2\times 3$ $1\times 1$ $2\times 2$ altındaki kiremit), inşa ettiğimiz döşemeden mutlaka farklı bir döşeme üretmek için 'çevrilebilir'. Son olarak, daha büyük hiçbir kare hiç eğilemez: varsayalım için bir kare döşemeye çalıştığımızı varsayalım ; sonra güvercin deliği prensibi ile , yani kareler kaldı - ancak , , mevcut kutucuk sayısı . $(2t+1)^2$ $(2s+1)^2$ $s\gt t$ $s^2\ 2\times 2$ $(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$ $s\gt t$ $4s+1\gt 4t+1=n$ $1\times 1$

Bu nedenle, için var olan tek benzersiz eğim, hiç döşemeyi kullanmayanlardır ve , bir kare olduğunda sıfır değildir (bu durumda ). $n\gt 5$ $2\times 2$ $f(n)$ $n$ $\sqrt{n}$

— Steven Stadnicki
kaynak

Ben kalan 1 x 1 fayans sağ iffy (belki de hiçbir nedenle) sıkışmış parçası bulmak beri, burada ve kare büyüklüğünün olduğu durumda biraz farklı bir bakış . veya olduğuna dikkat edin . her iki durumda da kare için 1 kalınlık sınırı oluşturmak için 1 x 1 karo gerekir. o zaman 1'e 1 karo kaldı. durumda Elimizdeki ve bununla uğraştım. aksi takdirde önceki paragrafa indirgedik.

n=4t+1 $n = 4t + 1$

x2<(2t+1)2 $x^2 < (2t + 1)^2$

x≡1 $x \equiv 1$

x≡3(mod4) $x \equiv 3 \pmod 4$

2x−1≡1(mod4) $2x - 1 \equiv 1 \pmod 4$

n′≡0(mod4) $n' \equiv 0 \pmod 4$

n′=0 $n' = 0$

x=2t+1 $x = 2t + 1$

— Sasho Nikolov

Geçerli benzersiz döşeme her iki karo türünü kullanmalıdır. Sorumda açıkça belirtmediğim için üzgünüm.

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany Steven, için böyle benzersiz bir eğim olmadığını kanıtlıyor . aslında tanımınıza göre tek "geçerli" benzersiz döşeme (tek bir 2 x 2 karo ve 5 1 x 1'lik "köşe") içindir.

n>5 $n>5$

n=5 $n=5$

— Sasho Nikolov

@Steven Cevabınız için teşekkürler, benzersizlik gereksinimi ifadem kolayca hesaplanamaz bir işleve yol açtığından ilginç değil. -squares bazılarını açığa çıkarırken posumlliy maksimum -squares sayısını paketi gerektirerek düzeltilebileceğini düşünüyor musunuz ? Motivasyonum basit bir karmaşa probleminden hesaplanamayan bir işlev inşa etmektir.

2×2 $2 \times 2$

m×m $m \times m$

— Mohammad Al-Turkistany

@Steven, cevabınız orjinal soruyu çözüyor, ancak soruyu sormam için beni motive eden şey tam olarak değil. Umarım, önceki yorumda açıkladığım şekilde soruyu değiştirerek rahatsız olmazsınız.

— Mohammad Al-Turkistany