NP-tamamlanmış problemler için subexponential-zaman algoritmaları var mı?

51

Yardımcı olmayan zaman algoritmaları kanıtlanmış NP-komple problemler var mı?

Genel dava girdilerini soruyorum, buradaki izlenebilir özel davalardan bahsetmiyorum.

Üstel üstel olarak, polinomların üzerinde, ancak üstelden daha az, örneğin gibi bir büyüme sırası anlamına gelir . $n^{\log n}$

— ksb
kaynak

10

"Üstel Üstel" ile ne demek istiyorsun?

demek istiyorsan , cevap kesinlikle evet. Eğer demek istediğin

, ben cevap hayır inanıyoruz.

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— JeffE

57

Subexponential ile ne demek istediğine bağlı. Aşağıda "subexponential" in birkaç anlamını ve her durumda ne olacağını açıklayacağım. Bu sınıfların her biri, altındaki sınıflarda bulunur.

I $2^{n^{o(1)}}$

Subexpoential ile Şunu ise , daha sonra adı karmaşıklık teorik olarak bir varsayım ETH (Üstel saat Hipotez) ima hayır -Sert sorun çalışma zamanı ile bir algoritma olabilir . $2^{n^{o(1)}}$ $\mathsf{NP}$ $2^{n^{o(1)}}$

Bu sınıfın polinomlarla kompozisyon altında kapalı olduğuna dikkat edin. Herhangi bir -problem problemi için bir eksensel zaman algoritması varsa , bunu SAT'dan polinom-zaman azalması ile birleştirebiliriz ve 3SAT için ETH'yi ihlal edecek bir subexponential algoritması elde edebiliriz. $\mathsf{NP}$

II. , yani tüm için $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

Durum öncekine benzer.

Polinomlar altında kapatıldığı için ETH'yi ihlal etmeden bu zamanda zor problemi çözülemez. $\mathsf{NP}$

III. , yani bazı için $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

Subexponential ile bazı için anlamına geliyorsa, o zaman cevap evet, muhtemelen böyle sorunlar var. $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon<1$

SAT gibi bir problemi alın . Zamanında de çalışan kaba kuvvet algoritmasına sahiptir . Şimdi , girdilere boyutunda bir string ekleyerek SAT'ın yastıklı versiyonunu düşünün : $\mathsf{NP}$ $2^{O(n)}$ $n^k$

S A T^{'} = {⟨ φ, w ⟩ ∣ φ \in S A T and | w | = | φ |^{k}}

$SAT' = \{\langle \varphi,w\rangle \mid \varphi\in SAT \text{ and } |w|=|\varphi|^k \}$

Şimdi bu problem hard ve zaman içinde çözülebilir $\mathsf{NP}$ . $2^{O(n^\frac{1}{k})}$

IV. $2^{o(n)}$

Bu önceki sınıfı içerir, cevap benzerdir.

V. , yani için tüm $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

Bu önceki sınıfı içerir, cevap benzerdir.

VI. , örneğin, için bir $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$

Bu önceki sınıfı içerir, cevap benzerdir.

Subexponential ne anlama geliyor?

"Polinomun Üstü", bir üst sınır değil, bir alt sınırdır ve süper polinom olarak adlandırılır .

$n^{\lg n}$

$2^{\Theta(n)}$ $2^{n^{\Theta(1)}}$

$\Theta$ $o$ $\epsilon$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon>0$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon<1$

Hangisine subexponential denilmesi gerektiği tartışmalıdır. Genellikle insanlar, çalışmalarında ihtiyaç duydukları şeyi kullanırlar ve bunu subexponential olarak adlandırırlar.

$\mathsf{Exp}$ $2^{n^{O(1)}}$

$\mathsf{SubExp}$

III , Pal'in cevabında belirtilenler gibi algoritmik üst sınırlar için kullanılır.

IV de yaygındır.

ETH varsayımını belirtmek için V kullanılır.

Kavşaklar ( II ve V ) algoritmik üst sınırlar için o kadar kullanışlı değildir, ana kullanımları karmaşıklık teorisi gibi görünmektedir. Uygulamada, I ve II arasında veya IV ve V arasında bir fark görmezsiniz . IMHO daha sonraki üç tanım ( IV , V , VI ) çok hassastır, belirli problemler için faydalı olabilirler, ancak sınıf olarak faydalarını azaltan sağlam değillerdir. Sağlamlık ve hoş kapatma özellikleri gibi ünlü karmaşıklık sınıflarının nedeninin bir parçasıdır $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{PSpace}$ $\mathsf{Exp}$

Yazlık

$\mathsf{NP}$

— Kaveh
kaynak

7

Bu cevap Vikipedi'ye gitmeli.

— Erel Segal-Halevi

32

$2^{O(\sqrt{n} \log n)}n^{O(1)}$ $2^{O(\sqrt{n})}n^{O(1)}$

Turnuvalarda Geribildirim Ark Seti [Noga Alon, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, ALP 2009]
Minimum Doldurma ve Zincir Doldurma [Fomin ve Villanger SODA 2012]
Bölünmüş Kenar Silme [Ghosh et al SWAT 2012]
$t$
Bir çok çift-boyutluluk problemi, sınırlı genus grafiklerinde farklı grafik problemleri ve özellikle düzlemsel grafikler (bakınız: Demaine, Fomin, Hajiaghayi, Thilikos: Sınırlı cins ve H-minörsüz grafiklerin subexponential parametreli algoritmaları )
Düzlemsel Grafiklerde Steiner Ağacı için Subexponential-Zaman Parametreli Algoritması [Pilipczuk et al STACS 2013]
Önemsiz Mükemmel Tamamlama, Eşik Tamamlama ve Psödosplit Tamamlama [D. ve ark. STACS 2014]
Aralık Tamamlama [Bliznets et al]
Uygun Aralıklı Tamamlama [Bliznets et al]

— Pål GD
kaynak

1

2^{O (n^{ϵ})}

$2^{O(n^\epsilon)}$

ϵ < 1

$\epsilon<1$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

NP-tamamlanmış problemler için subexponential-zaman algoritmaları var mı?

I 2no ( 1 )2no(1)2^{n^{o(1)}}

II. , yani tüm 0 < ϵ için 2 O ( n ϵ )⋂0 < ϵ2O ( nε)⋂0<ϵ2O(nϵ)\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}2O ( nε)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} 0 < ϵ0<ϵ0 < \epsilon

III. , yani bazı ϵ < 1 için 2 O ( n ϵ )⋃ϵ < 12O ( nε)⋃ϵ<12O(nϵ)\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}2O ( nε)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} ϵ < 1ϵ<1\epsilon < 1

IV. 2o(n)2o(n)2^{o(n)}

V. , yani 2 ε n için tüm ε > 0⋂0<ϵ2ϵn⋂0<ϵ2ϵn\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}2ϵn2ϵn2^{\epsilon n} ϵ>0ϵ>0\epsilon>0

VI. , örneğin, 2 ε n için bir ε < 1⋃ϵ<12ϵn⋃ϵ<12ϵn\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}2ϵn2ϵn2^{\epsilon n} ϵ<1ϵ<1\epsilon<1

Subexponential ne anlama geliyor?

I $2^{n^{o(1)}}$

II. , yani tüm için $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

III. , yani bazı için $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

IV. $2^{o(n)}$

V. , yani için tüm $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

VI. , örneğin, için bir $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$