Kategori teorisi ile kastedilen, henüz üst düzey fonksiyonlarla nasıl başa çıkacağınızı bilmiyor mu?

Okuma olarak Uday Reddy cevabı için SML functors ve Kategori teorisi arasındaki ilişki nedir? Uday devletleri

Kategori teorisi, daha üst düzey fonksiyonlarla nasıl başa çıkılacağını henüz bilmiyor. Bir gün olacak.

Kategori teorisinin matematiğin temelini oluşturabildiğini düşündüğüm için, tüm matematik ve daha üst düzey fonksiyonların türetilmesi mümkün olmalıdır.

Peki, Kategori teorisi ile ne kastedilmektedir, üst düzey fonksiyonlarla nasıl başa çıkılacağını henüz bilmiyor mu? Kategori teorisini matematiğin temeli olarak görmek geçerli midir?

functional-programming category-theory

— Guy Coder
kaynak

Bu tartışma cstheory.stackexchange.com için mükemmel olurdu .

— Martin Berger

Yanıtlar:

Yüksek dereceli fonksiyonlarla ilgili sorun belirtmek için yeterince basit.

gibi bir tür yapıcı bir işlev değildir. Olmalıydı. $T(X) = [X \to X]$
gibi bir polimorfik fonksiyon doğal bir dönüşüm değildir. Olmalıydı. ${\it twice}_X : T(X) \to T(X) = \lambda f.\, f \circ f$

Eilenberg ve MacLane'nin orijinal kategori teori raporunu okursanız , (PDF) sundukları sezgiler bu durumları kapsar. Fakat teorileri değil. Onlarınki 1945 için harikaydı ! Ancak bugün daha fazlasına ihtiyacımız var.

Kategori teorisyenlerinin bu konulara tepkisi biraz şaşırtıcı. Yüksek dereceli işlemler Bilgisayar Bilimi fikri oluşturuyormuş gibi davranırlar; matematiğin bir sonucu yoktur. Eğer öyleyse, o zaman bir matematiğin temeli bilgisayar biliminin bir temeli için yeterince iyi olmazdı.

Ama buna cidden inanmıyorum. Matematik için üst düzey fonksiyonların da oldukça önemli olacağına inanıyorum. Ancak ciddi olarak araştırılmadılar. Bir gün keşfedileceklerini ve kategori teorisinin sınırlamalarının gerçekleşeceğini umuyorum.

— Uday Reddy
kaynak

Yüksek-dereceli cebir, n-kategori teorisi ve benzerlerini keşfederken gittikleri derinlikleri göz önünde bulundurarak, yüksek-dereceli fonksiyonları ilginç görmemeleri şaşırtıcı. Nispeten, yüksek dereceli fonksiyonlar dünyaya çok benzer görünüyor. Özellikle o dünya Haskell programlarını içeriyorsa.

— Dave Clarke,

@DaveClarke. Bence görmek istedikleri, Eilenberg ve MacLane ile başlayan gibi çekici bir örnek. Tüm

-boyutlu vektör uzayları birbirine izomorfiktir. Dolayısıyla, bir vektör uzayı kendi

izomorfiktir:

. Ancak, bu izomorfizmler "doğal" değildir. (Onlar özellikle üsleri kullanma - "temsil bağımlı" Bizim konuşuyoruz.) Diğer taraftan İzomorfizma

"doğal", tüm üsleri için aynı şekilde çalışır olduğunu. Kategori Teorisi 2.0'ı istemek için benzer bir katil örneğine ihtiyacımız var!

n

$n$

A ≅ A^{*}

$A \cong A^*$

A ≅ A^{* *}

$A \cong A^{**}$

— Uday Reddy,

@DaveClarke. Normal matematikte gerçekleşen şey, matematikçilerin birinci sınıf yapılara daha üst düzeyde olan şeyleri zekice azaltmalarıdır. Örneğin, yukarıda verdiğim

tipi sadece çarpımı birinci dereceden bir işlem olan bir monoiddir . Doğrusal Cebirinizi hatırlarsanız,

doğrusal dönüşümleri bir vektör uzayına dönüştürülür ve ardından tüm işlemleri birinci dereceden sıralanır. Otomata teorisi (yine Bilgisayar Bilimi) bu hilenin işe yaramadığı ilk yer olabilir. Eilenberg'in 10 yıllık bir aktif yaşamı olsaydı, sorunu çözmüş olabilirdi.

T (X)

$T(X)$

A \to B

$A \to B$

— Uday Reddy,

+1 Bu gerçekten ilginç. Bu konuları daha fazla tartışan herhangi bir referans biliyor musunuz?

— Kaveh,

λ

$\lambda$

π

$\pi$

π

$\pi$

[Bu ikinci cevap, yüksek dereceli fonksiyonlarla doğru şekilde ilgilenen bir "Kategori Teorisi 2.0" ın nasıl görünebileceğinin ana hatlarını sunar.]

Uzun zamandır üst düzey işlevlerle nasıl başa çıkılacağının bilincindeyiz.

Bir cebirsel yapı daha üst düzey işlemlere sahip olduğunda, homomorfizmler çalışmaz. Biz kullanmalıdır mantıksal ilişkiler yerine. Başka bir deyişle " yapıyı koruyan işlevler " den " yapıyı koruyan ilişkiler " e geçmeliyiz.
Yüksek dereceli türlerde "üniforma" veya "aynı anda verilen" dönüşümler hakkında konuşmak gerekirse, doğallık işe yaramaz. Biz kullanmalıdır ilişkisel parametricity yerine. Başka bir deyişle, "Tüm morfizmaları koruyan ailelerden " "tüm mantıksal ilişkileri koruyan ailelere" geçmeliyiz .
$\to$

Bu konulara hızlı bir giriş Peter O'Hearn'ün Etki Alanlarında ve Terimsel Anlambilimdeki "İlişkisel Parametriklik" konulu bölümünde : Tarih, Başarılar ve Açık Sorunlar (CiteSeerX) .

Bir "Kategori Teorisi 2.0" inşa etmeye yönelik ilk girişim, O'Hearn ve Tennent'in Parametrikliği ve Yerel Değişkenleri'nde (CiteSeerX) .
Brian Dunphy'nin Doktora Tezi: Yansımalı grafiklerdeki (CiteSeerX) bir tekdüzelik kavramı olarak parametriklik kendi yapılarına dayanır ve parametriklik sonuçları elde etmek için gereken ilişkisel yapıyı aksiyomize eder. Tüm konulara iyi bir genel bakış için Dunphy'nin tezini öneririm.
Tamamlanma adına, Claudio Hermida'nın doktora tezi: Kategori teorik bir ortamda mantıksal ilişkileri ilk inceleyen Fibrations, Logical Predicates ve Indeterminates'den (PDF) bahsetmeliyim , ancak tedavisi çoğu kişi için belki de çok teknik.

Devlet hakkındaki akıl yürütmenin , üst düzey işlevlerin belirgin bir şekilde ortaya çıktığı yer olduğunu da ekleyebilirim . Otomata-teorisyenler, Homomorfizmaların doğru çalışmadığını, Otomata Ürünleri ve Kaplama Problemi adlı tarihi bir makalede ilk tanıyanlardı . Mantıksal ilişkileri ifade etmek için "zayıf homomorfizmalar" ve "ilişkileri kapsayan" terimlerini kullandılar. Bu sırada, "simülasyon" ve "bisimülasyon" gibi terimler bunlara atıfta bulunmak için kullanılmıştır. Davide Sangiorgi'nin anket makalesi: Bisimülasyon ve Coinduction'un Kökenleri Üzerine, bu erken tarihin tamamını ve daha fazlasını içerir.

İlişkisel muhakemeye duyulan ihtiyaç sürekli olarak devletin, özellikle de zorunlu programlamanın muhakemesinde neden olur . Çok az insan mütevazı "noktalı virgül" in daha üst düzey bir işlem olduğunu fark eder. Bu yüzden, daha üst düzey fonksiyonlarla nasıl başa çıkılacağını bilmeden zorunlu programları düşünmeye başlayamazsınız. Matematiğin tüm cevapları aldığına dair yanlış inanç içinde devlet ve zorunlu programlama konularını görmezden geliyoruz. Öyleyse, eğer matematikçiler durumu anlamıyorsa, bunun iyi olmaması gerekir! Hiçbir şey gerçeklerden daha fazla olamaz. Devlet Bilgisayar Biliminin kalbinde yer almaktadır. Genel olarak bilimi insanlara devletle nasıl başa çıkacaklarını göstererek geliştireceğiz!

— Uday Reddy
kaynak

@GuyCoder, bence bu iyi bir fikir. Bu arada, bunu göndermeyi tercih etmeniz durumunda , bunun ve bu sorunun Teorik Bilgisayar Bilimi için de konuyla ilgili olacağını düşünüyorum .

— Kaveh

Uday ile tartıştıktan sonra, bu ikinci cevap için özel olarak yeni bir soru sorulmayacak. :)

— Guy Coder,

Devlet görecelidir.

— Shelby Moore III,