12

Eğer düzenlidir, o takip eder düzenli mi?A2A

Bir ispat girişimim:

Evet, çelişki için düzenli olmadığını varsayalım . Daha sonra .AA2=AA

Normal olmayan iki dilin birleştirilmesi normal olmadığından düzenli olamaz. Bu varsayımımızla çelişiyor. Yani düzenli. Yani eğer düzenlidir sonra düzenlidir.A2AA2A

Kanıt doğru mu?

Bunu , , vb. Olarak genelleştirebilir miyiz ? Ve ayrıca eğer düzenlidir sonra ihtiyaç düzenli olmayabilir?A3A4AA

Örnek: normal değil ancak normal.A A={12ii0}A


2
İlk kanıt büyük bir sıçrama yapıyor. düzenli olmadığına dair kanıtınız, A 2'nin düzenli olmadığı anlamına gelir ? Bunu doğru bir şekilde kanıtlamak, eğer gerçekten doğruysa, sorunun geri kalanına cevap vermeye yardımcı olmak için sezgiye yol açabilir. AA2
Dave Clarke

@DaveClarke İspat düzenledi.
akshay

3
"Doğru muyum?" bu şekilde çok ilgi çekicidir. Genel bir tavsiye olarak: yüzlerce kişi yazdıklarınızı okuduğunda, genel ahlak nasıl yazdığınıza dikkat etmenizi ister ... ;-)
Andrej Bauer

6
@AndrejBauer OP, anadili İngilizce olmayan ve henüz resmi İngilizce konusunda eğitim alma fırsatına sahip olmayan biri olabilir. Bu, kimseyi caydırmak için bir neden değildir, ancak onları düzeltmek yardımcı olabilir.
Yuval Filmus

Yanıtlar:


28

Lagrange'ın dört kare teoremini düşünün . Bu kavram ise sonra B 4 = { 1 n | n 0 } . Eğer B 2 düzenlidir, almak A = B başka almak A = B 2 . Her iki durumda da , A 2 düzenli olacak şekilde düzensiz A'nın varlığını kanıtlar .B={1n2|n0}B4={1n|n0}B2A=BA=B2AA2


Bu kanıtı anlamıyorum; biraz detaylandırabilir misin
G. Bach

2
Bu (güzel) kanıtını açıklanması: Biz sahip olduğunu ve bu B 4R E G . Gözlemleyin B 4 = ( B 2 ) 2 . Şimdi, eğer B 2R E G ise , o zaman A = B alarak bir karşı örnekimiz var ve B 2R E G ise A = B 2 alarak bir karşı örnekimiz var. BREGB4REGB4=(B2)2B2REGA=BB2REGA=B2
Shaull

1
Kesinlikle güzel.
vonbrand

3
@YuvalFilmus, gerçekten, ama bir kanıtım yoktu ve hiç şüphe bırakmak istemedim. Şimdi bir tane buldum. " sayısı , ancak 4 k + 3 formunun tüm asal faktörleri n'nin asal çarpanlarına ayırma işleminde bile üsse iki karenin toplamıdır ." Let n pompalama uzunluğu. W = ( n ! ) 2'yi düşünün . Let s formunun bir asal sayı 4 k + 3 ve izin m biz pompalamayı tercih uzunlukta. Sonra w + ( p - 1 )n4k+3nnw=(n!)2p4k+3mile tek bir üs sahippve dolayısıyla değilB2. w+(p1)wmm=pwpB2
Karolis Juodelė

1
@ JonasKölker, katılıyorum.
Karolis Juodelė

8

İşte olmayan bir hesaplanabilir dil örneğidir öyle ki A 2 = Σ * . Hesaplanamayan herhangi bir K'yi (sayılar kümesi olarak temsil edilir, örneğin duran Turing makinelerinin kodları) alın ve A = { w Σ tanımlayın : | w | 4 k  herkes için  k K } . Yani A , bazı k K için 4 k uzunluğunda olanlar dışındaki tüm kelimeleri içerir . Eğer AAA2=ΣK

A={wΣ:|w|4k for all kK}.
A4kkKA : verilen k'yi hesaplayabilir , 0 4 k (yani 4 k sıfır) A'da olup olmadığını belirleyebilirsiniz. K'nın hesaplanabilir olmadığını varsaydığımız için , A'nın da hesaplanamaz olması gerekir.Kk04k4kAKA

Talep: . Let ağırlık uzunluk herhangi kelime n . Eğer n, bir güç değildir 4 , daha sonra ağırlık A ve boş bir kelime olan A , yani ağırlık A 2 . Eğer n, bir güç 4 daha sonra N / 2 bir güç değildir 4 . W = x y yazın , burada | x | = | y | = n /A2=Σwnn4wAAwA2n4n/24w=xy . Her iki X , Y bir çok ağırlık = x y A 2 .|x|=|y|=n/2x,yAw=xyA2


1
Yeni başlayanlar için, "bir kanıtı kroki karar verilemez" sırayla olabilir. Ayrıca, küçük bir engel, K'yi resmi bir dil ve bir sayı kümesi olarak kullanmanız olabilir (bu adil, K için uygun semantik varsayar , ancak belki de yabancıdır). Aksi takdirde, çok güzel bir fikir. AKK
Raphael

2

İspatınız hala büyük bir sıçrama yapıyor (normal olmayan dillerin birleştirilmesinin normal olmadığını savunuyor).

Goldbach varsayımı doğruysa, sorunun cevabı hayırdır: Normal olmayan dili düşünün . Sonra Goldbach varsayımı ile A 2 = { 1 2 k : k > 1 } , ki bu normaldir.A={1p:p is a prime}A2={12k:k>1}

Bu, sorunu tamamen çözmez, ancak cevabın hayır olduğuna dair güçlü kanıtlar verir (aksi takdirde Goldbach varsayımı yanlıştır). Ancak, bilinen tek örnek buysa, cevabı kanıtlamak çok zor olabilir.


Soru hakkında ne sonuçlandırabiliriz?
akshay

-Eğer Goldbach varsayım varsayarak , daha düzenli bir hala düzenli olmayan olabilir. Yani: cevabın "evet" olduğunu kanıtlamak, Goldbach varsayımının yanlış (olası) anlamına gelir. A2A
Shaull

2
"Gerçek" kanıtların varlığında, kanıtlanmamış bir tahmin kullanmanın adil olduğunu düşünmüyorum. Belki bağlantı bazıları için ilginçtir?
Raphael

Aslında, aşağıdaki cevaplardan sonra, bu gereksizdir. Bununla birlikte, burada güzel bir matematiksel gelişme görebilirsiniz: iyi bilinen bir varsayım temelinde bir cevap, daha sonra benzer bir fikre dayanan (Lagrange teoremini kullanarak) ilgili bir cevap (bir sayının toplamına ayrıştırılması).
Shaull

1
Aslına bakarsanız, asal ve yarı yarıçaplar kullanırsanız, Chen'in teoremini kullanabilirsiniz .
sdcvvc

2

İddia yanlış.

Let "seyrek" dir olmayan normal bir dil olması: eğer x D sonra başka y D karşılar | y | > 4 | x | (veya | x | > 4 | y | ) . Normal olmayan birçok dilin seyrek olabileceğini görmek çok zor değil.DxDyD|y|>4|x||x|>4|y|

Şimdi tanımlayın . Kapatma özelliklerinden (tamamlama), A düzenli olmamalıdır.A=ΣDA

Ancak, (nedenini görebiliyor musunuz?)A2=Σ    

Sanırımyeterlidir, ancak bazı kötü durumlara neden olabilir. | y | > 2 | x | + 2 yeterli olsa da, hadi alalım | y | > 4 | x | güvenli tarafta olmak.|y|>2|x||y|>2|x|+2|y|>4|x|


Bu sorunun giderek daha önemsiz kanıtlar almasını seviyorum. Seyreklik fikriniz , ve 1 kA şartlarına göre daha da basitleştirilebilir.1A . 1kA1k1A
Karolis Juodelė

2

Düzenli olmayan ve A = { 1 } { 1 2 x : x N } { 1 2 x + 1 : 1 xX } tanımlayın .X1A={1}{12x:xN}{12x+1:1xX}

normal olmadığını, A 2 = 1 olduğunu görmek kolaydır .AA2=1


2

Let izin herhangi bir karar verilemez kümesi I = { 2 u + 1 | u U } { 0 , 2 , 4 , ... } ve izin L = { Bir i | i I } . L  kararsız, bu yüzden kesinlikle düzenli değil. Fakat L 2 = { a 2 nn N } UNI={2u+1uU}{0,2,4,}L={aiiI}LTamamlayıcı olan sonlu olduğu için düzenli olan I } .L2={a2nnN}{annminI}


0

Bunun bir kopyası olarak işaretlenen bir sorudan başka bir örnek, normal olmayan dili {akm is composite} . Herhangi bir çift sayı n8 toplamıdır n4 ve  4 her iki bileşik vardır; Herhangi bir tek sayı n13 toplamıdır n9 ve  9 (her ikisi de karışımı olan, n9=2m bazı m2 ). Bu nedenle, A2={a8,a10}{akk12} düzenli, 's eş sonlu (bunun tamamlayıcısı olduğundan{ϵ,a,aa,,a6,a7,a9,a11} ).

Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.