Mı

Eğer düzenlidir, o takip eder düzenli mi?$A^2$$A$

Bir ispat girişimim:

Evet, çelişki için düzenli olmadığını varsayalım . Daha sonra .$A$$A^2 = A \cdot A$

Normal olmayan iki dilin birleştirilmesi normal olmadığından düzenli olamaz. Bu varsayımımızla çelişiyor. Yani düzenli. Yani eğer düzenlidir sonra düzenlidir.$A^2$$A$$A^2$$A$

Kanıt doğru mu?

Bunu , , vb. Olarak genelleştirebilir miyiz ? Ve ayrıca eğer düzenlidir sonra ihtiyaç düzenli olmayabilir?$A^3$$A^4$$A^*$$A$

Örnek: normal değil ancak normal.A $A=\lbrace 1^{2^i} \mid i \geq 0\rbrace$$A^*$

Lagrange'ın dört kare teoremini düşünün . Bu kavram ise sonra B 4 = { 1 n | n ≥ 0 } . Eğer B 2 düzenlidir, almak A = B başka almak A = B 2 . Her iki durumda da , A 2 düzenli olacak şekilde düzensiz A'nın varlığını kanıtlar .$B = \{1^{n^2}| n \geq 0\}$$B^4 = \{1^n | n \geq 0\}$$B^2$$A = B$$A = B^2$$A$$A^2$

İşte olmayan bir hesaplanabilir dil örneğidir öyle ki A 2 = Σ * . Hesaplanamayan herhangi bir K'yi (sayılar kümesi olarak temsil edilir, örneğin duran Turing makinelerinin kodları) alın ve A = { w ∈ Σ ∗ tanımlayın : | w | ≠ 4 k  herkes için  k ∈ K } . Yani A , bazı k ∈ K için 4 k uzunluğunda olanlar dışındaki tüm kelimeleri içerir . Eğer $A$$A^2 = \Sigma^*$$K$

Talep: . Let ağırlık uzunluk herhangi kelime n . Eğer n, bir güç değildir 4 , daha sonra ağırlık ∈ A ve boş bir kelime olan A , yani ağırlık ∈ A 2 . Eğer n, bir güç 4 daha sonra N / 2 bir güç değildir 4 . W = x y yazın , burada | x | = | y | = n $A^2 = \Sigma^*$$w$$n$$n$$4$$w \in A$$A$$w \in A^2$$n$$4$$n/2$$4$$w = xy$ . Her iki X , Y ∈ bir çok ağırlık = x y ∈ A 2 .$|x| = |y| = n/2$$x,y \in A$$w = xy \in A^2$

İspatınız hala büyük bir sıçrama yapıyor (normal olmayan dillerin birleştirilmesinin normal olmadığını savunuyor).

Goldbach varsayımı doğruysa, sorunun cevabı hayırdır: Normal olmayan dili düşünün . Sonra Goldbach varsayımı ile A 2 = { 1 2 k : k > 1 } , ki bu normaldir.$A=\{1^p: p\text{ is a prime}\}$$A^2=\{1^{2k}: k>1\}$

Bu, sorunu tamamen çözmez, ancak cevabın hayır olduğuna dair güçlü kanıtlar verir (aksi takdirde Goldbach varsayımı yanlıştır). Ancak, bilinen tek örnek buysa, cevabı kanıtlamak çok zor olabilir.

İddia yanlış.

Let "seyrek" dir olmayan normal bir dil olması: eğer x ∈ D sonra başka y ∈ D karşılar | y | > 4 | x | (veya | x | > 4 | y | ) ^† . Normal olmayan birçok dilin seyrek olabileceğini görmek çok zor değil.$D$$x \in D$$y\in D$$|y| > 4|x|$$|x|>4|y|$^$\dagger$

Şimdi tanımlayın . Kapatma özelliklerinden (tamamlama), A düzenli olmamalıdır.$A = \Sigma^* \setminus D$$A$

Ancak, (nedenini görebiliyor musunuz?)$A^2 = \Sigma^*$ $\ \ \ $

^$\dagger$ _{Sanırımyeterlidir, ancak bazı kötü durumlara neden olabilir. | y | > 2 | x | + 2 yeterli olsa da, hadi alalım | y | > 4 | x | güvenli tarafta olmak.$|y|>2|x|$$|y|>2|x|+2$$|y|>4|x|$}

Düzenli olmayan ve A = { 1 } ∪ { 1 2 x : x ∈ N } ∪ { 1 2 x + 1 : 1 x ∈ X } tanımlayın .$X \subseteq {1}^\ast$$A=\{1\} \cup \{1^{2x}:x \in \mathbb N\} \cup \{1^{2x+1}:1^x \in X\}$

normal olmadığını, A 2 = 1 ∗ olduğunu görmek kolaydır .$A$$A^2=1^{\ast}$

Let izin herhangi bir karar verilemez kümesi I = { 2 u + 1 | u ∈ U } ∪ { 0 , 2 , 4 , ... } ve izin L = { Bir i | i ∈ I } . L  kararsız, bu yüzden kesinlikle düzenli değil. Fakat L 2 = { a 2 n ∣ n ∈ N } $U\subseteq \mathbb{N}$$I = \{2u+1\mid u\in U\}\cup\{0,2,4,\dots\}$$L = \{a^i\mid i\in I\}$$L$Tamamlayıcı olan sonlu olduğu için düzenli olan I } .$L^2 = \{a^{2n}\mid n\in \mathbb{N}\} \cup \{a^n\mid n\geq \min\,I\}$

Bunun bir kopyası olarak işaretlenen bir sorudan başka bir örnek, normal olmayan dili $\{a^k\mid m\text{ is composite}\}$ . Herhangi bir çift sayı $n\geq 8$ toplamıdır $n-4$ ve  $4$ her iki bileşik vardır; Herhangi bir tek sayı $n\geq 13$ toplamıdır $n-9$ ve  $9$ (her ikisi de karışımı olan, $n-9=2m$ bazı $m\geq 2$ ). Bu nedenle, $A^2 = \{a^8,a^{10}\}\cup\{a^k\mid k\geq 12\}$ düzenli, 's eş sonlu (bunun tamamlayıcısı olduğundan$\{\epsilon,a,aa,\dots,a^6,a^7,a^9,a^{11}\}$ ).