İki taraflı bir grafiğe minimum köşe silme işleminin NP-tam olduğunu gösterme

Girdi örneği basit bir grafik ve doğal bir tamsayı olan aşağıdaki sorunu göz önünde bulundurun . $G$ $k$

Bir dizi var bu şekilde bipartit ve ? $S \subseteq V(G)$ $G - S$ $|S| \leq k$

3-SAT, -CLIQUE, -DOMINATING SET veya -VERTEX COVER azaltarak bu sorunun -complete olduğunu göstermek istiyorum. $\rm{NP}$ $k$ $k$ $k$

3-COLORING problemini azaltabileceğime inanıyorum, bu yüzden sadece bahsedilen problemlerden birinin nasıl azaltılacağını görmem gerekiyor. Ancak bu oldukça dağınık olacağından, birinin yukarıda bahsedilen sorunlara zarif bir düşüş görüp görmediğini merak ediyorum.

Ayrıca, bu karar sorununun bir adı var mı?

complexity-theory np-complete reductions

— Jernej
kaynak

Tek Çevrim Enine .

— Pål GD

Bu, geribildirim tepe noktası kümesine benzer . Yani, elde edilen grafiğin döngüsel olmayacağı şekilde kaldırmak için minimum köşe noktası alt kümesini bulmak istersiniz. Asiklik bir grafik, tanım gereği iki taraflı olan bir ağaç (veya ormandır).

— Nicholas Mancuso

@NicholasMancuso Çok benzer değil. Gerçekten yukarıda söylediğim gibi, Tek Çevrim Enine sorunu. Ya da Vor'un işaret ettiği gibi, Yannakakiler tarafından 70'lerde ve 80'lerde Bipartit düğümü (veya tepe noktası) silinmesi olarak adlandırıldı.

— Pål GD

@ PålGD, katılıyorum. En kolay indirgemenin FVS'den olacağını hissettim. Ancak bu, Tek Çevrim Enine olarak tanımlanması gereği gereksiz kılmaktadır.

— Nicholas Mancuso

@Jernej: diyorsunuz "... Bu sorun olduğunu göstermek istiyorum NP ya da azaltarak üzere 3-SAT, k-klik, ...". "Bu sorunun 3-SAT, k-CLIQUE, ... ' dan bir azalma kullanarak NP-zor olduğunu göstermek ister misiniz ?" (problem NP'de açıktır, çünkü bir grafiğin iki taraflı olup olmadığını test etmek doğrusal zamanda yapılabilir)

— Vor

Sorununuz, düğüm silme sorunları adı verilen daha geniş bir sorun sınıfı için özel bir durumdur :

JM Lewis ve M. Yannakakis, "Kalıtsal özellikler için düğüm silme problemi NP-tamamlanmış"

... aşağıdaki gibi tanımlanır grafik sorunları sınıfı ile bu kağıt fiyatları:
sabit bir grafiktir özelliği , belirli bir grafikten silinmelidir düğüm (veya köşe) minimum sayıda böylece sonuç karşılayan . Buna için düğüm silme sorunu diyoruz . Sonuçlarımız, eğer göstermektedir a, aşikar olmayan bir özellik kalıtsal kaynaklı alt grafiği ile, daha sonra düğüm silme sorun NP-zordur. Ayrıca, için test koşulunu eklersek $\Pi$ $G$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ polinom zamanında gerçekleştirilebilirse, sonuçlarımız için düğüm silme sorununun NP-tamamlanmış olduğunu gösterir. ... $\Pi$

Sorununuz iki taraflılık için düğüm silme problemidir , ancak (Pal tarafından belirtildiği gibi), bugün Tek döngü geçişi (OCT) sorunu olarak bilinir .

DÜZENLE

Doğrudan bir azaltma ile ilgili olarak, bunu 3SAT'den düşündüm.

değişkenleri ve yan tümcelerine sahip bir 3SAT örneği verildiğinde , aşağıdaki grafiği oluşturun: her bir değişken için iki düğüm ve aralarında bir kenar ekleyin . Bir gerçek atama simüle etmek için, ekleme , her bir değişken için düğümlerin ve bunların her ikisi de bağlamak ve ; Bu şekilde, sırayla, en fazla iki parçalı grafik silme yapmak düğümleri arasında en az bir ve silinmelidir. Son olarak, her bir için 4 düğüm ekleyin ve değişkenleri bağlayan tek bir döngü oluşturun . $n$ $m$ $x_i, \overline{x_i}$ $n+1$ $x_i$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $n$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $C_j$ $C_j$

Elde edilen grafik en çok ikili silme yapılabilir orijinal 3SAT formül karşılanabilir ve sadece eğer düğüm. $G$ $n$

resim açıklamasını buraya girin

— Vor
kaynak

Bu gerçekten sorunun sorduğu cevap değil. OP verilen sorunu kullanarak açıkça azaltmak istiyor. Ayrıca, sorun bugün Tek Çevrim Enine olarak bilinir.

— Pål GD

@ PålGD: haklısın.

— Vor

Evet, ama OP'nin sorun listesinden hemen bir azalma göremiyorum, ancak ... Yannakakis tarafından sadece bahsettiğin birini biliyorum.

— Pål GD

@ PålGD: Farklı bir indirim düşüneceğim, ama dürüst olmak gerekirse OP'nin tam olarak ne istediğinden emin değilim (yukarıdaki yorumuma bakın).

— Vor

@Vor İstediğim, belirtilen sorunlardan birine basit bir azalma görmek. Bu makale benim için biliniyor ama en doğrudan indirimi arıyorum.

— Jernej