Bir eleman değiştiğinde ters matrisin hesaplanması

18

Bir matrisi . Ters matris olsun olmak (olduğunu, ). O bir elementi varsayalım değiştirilir (let diyelim için ). Amaç, bu değişiklikten sonra bulmaktır . Bu hedefi bulmak için ters matrisi sıfırdan hesaplamaktan daha verimli bir yöntem var mı? $n \times n$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

algorithms numerical-analysis online-algorithms

— AJed
kaynak

Harika cevaplar: Bu sorunun üstesinden gelen şu makaleyi buldum: Sankowski, Piotr. "Ters dinamik matris üzerinden dinamik geçişli kapatma." Bilgisayar Biliminin Temelleri, 2004. Bildiriler. 45. Yıllık IEEE Sempozyumu. IEEE, 2004.

— AJ

Kağıt sorununuzu bir şekilde yanıtlar veya giderirse, bir yanıt eklemek sorun değildir! :) Sonuçta, yorumlar herhangi bir zamanda silinebilir.

— Juho

12

Sherman-Morrison formülü yardımcı olabilir:

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

Let ve , standart baz sütun vektörüdür. Güncellenmiş matris olup olmadığını kontrol edebilirsiniz daha sonra $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

A^{' - 1} = A^{- 1} - \frac{(a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i \to}^{- 1} A_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + (a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— Yuval Filmus
kaynak

7

$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) A^{- 1} = I + e_{i} δ e_{j}^{⊤} A^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

A^{- 1} (A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) = I + A^{- 1} e_{i} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— adam W
kaynak

Güzel cevap, ama bu Yuval'ın öncekinden ne kadar farklı?

— AJed

1

Farklı bir perspektif hepsi, eğer pivot işlemlerini seviyorsanız bu form sıfırlanacak değerleri gösterir ve bu durumda bu satır veya sütun işlemleri yapılabilir. Bunun yerine tüm bir satır değiştirilirse, yine de çalışır, ancak daha sonra sütun işlemleri

A^{- 1}

$A^{-1}$ gerekli olurdu.

— adam W