Beta genişlemesinin izdihamı

Let $\to_\beta$ be $\beta$ Düşürülmesi içinde $\lambda$ -calculus. $\beta$ genişleme $\leftarrow_\beta$ tarafından tanımlayın $t'\leftarrow_\beta t \iff t\to_\beta t'$ .

Mı $\leftarrow_\beta$ birleşik? Başka bir deyişle, herhangi bir değişiklik için o var mı $l,d,r$ ise, $l \to_\beta^* d\leftarrow_\beta^* r$ , daha sonra vardır $u$ öyle ki $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ?

Anahtar Kelimeler: Yukarı doğru izdiham, baş aşağı CR özelliği

Zayıf özelliğe bakarak başladım: yerel izdiham (eğer $l \to_\beta d\leftarrow_\beta r$ , sonra $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ). Bu doğru olsa bile, çünkü izdiham anlamına gelmeyeceğine $\beta$ -genişleme bitmeyen, ama bu beni engelleri anlamaya yardımcı olacağını düşündük.

(Üst) her iki azalmalar üst düzeyde olması durumunda, hipotez olur $(\lambda x_1.b_1)a_1\rightarrow b_1[a_1/x_1]=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ . En fazla $\alpha$ -renaming, biz varsayabiliriz $x_1\not =x_2$ ve bu şartlarda ne $x_1$ ne de $x_2$ ücretsiz değildir .

(Taç) ise $x_1$ ücretsiz değil $b_1$ , elimizdeki $b_1=b_2[a_2/x_2]$ ve bu nedenle sahip $(\lambda x_1.b_1)a_1=(\lambda x_1.b_2[a_2/x_2])a_1\leftarrow(\lambda x_1.(\lambda x_2.b_2)a_2)a_1\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ .

Dava (Üst) için indüksiyonla ( $b_1$ ve $b_2$ ) naif bir kanıt aşağıdaki gibi olacaktır:

Eğer $b_1$ bir değişkendir $y_1$ ,
- Eğer $y_1=x_1$ , hipotez olur $(\lambda x_1.x_1)a_1\rightarrow a_1=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ , ve gerçekten de sahip $(\lambda x_1.x_1)a_1=(\lambda x_1.x_1)(b_2[a_2/x_2])\leftarrow (\lambda x_1.x_1)((\lambda x_2.b_2)a_2)\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ .
- Eğer $y_1\not=x_1$ , o zaman (Throw) kullanabilirsiniz.
Aynı kanıtlar geçerlidir, $b_2$ değişkendir.
İçin $b_1=\lambda y.c_1$ ve $b_2=\lambda y.c_2$ , hipotez olur $(\lambda x_1.\lambda y. c_1)a_1\rightarrow \lambda y.c_1[a_1/x_1]=\lambda y.c_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ ve indüksiyon hipotezi verir $d$ , öyle ki $(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow d\rightarrow (\lambda x_2.c_2)a_2$ anlamına gelir $\lambda y.(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow \lambda y.d\rightarrow \lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2$ . Ne yazık ki, $\lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2\rightarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ . (Bu bana $\sigma$ indirimidüşündürüyor.)
Uygulamalar için de benzer bir sorun ortaya çıkmaktadır: $\lambda$ olması gerektiği yerde değildir.

lambda-calculus term-rewriting

— xavierm02
kaynak

@chi Yanılmadıkça,

çalışır.

(λ b . y b) y \leftarrow (λ a . (λ b . a b) y) y \to (λ a . a y) y

$(\lambda b.yb)y\leftarrow(\lambda a. (\lambda b. a b)y)y\rightarrow (\lambda a. a y)y$

— xavierm02

@Chi ile biraz düşündüğünüzde, bunu düşündükten ve bir çift karşı örnek gördükten sonra birbirine karıştığı görülüyor. Ama aslında, ne olacak

(λ x . x x y) y \to y y y \leftarrow (λ x . y x x) y

$(\lambda x.x\;x\;y)\;y \to y\;y\;y \leftarrow (\lambda x.y\;x\;x)\;y$

— Rodolphe Lepigre

Doğru olsaydı benim için uygun olsa da, ben biraz daha kötümserim. Bir meslektaşım, olası görünmeme neden olan şu açıklamayı yaptı: aynı (kilise) tamsayısını hesaplayan herhangi iki keyfi programın birleştirilebileceği anlamına gelir.

— 18:

Cevap hayır. Barendregt'teki alıştırma 3.5.11, Plotkin'e atfedilen, ancak bir referans olmaksızın bir karşı örnek verir:

. Kanıt arayacağım.

(λ x . b x (b c)) c

$(\lambda x. b x (b c)) c$

(λ x . x x) (b c)

$(\lambda x. x x) (b c)$

— Gilles 'SO- kötülüğü bırak'

Karşı örneği bir kanıt olarak gönderdim, bunun bir kanıt olacağını düşündüm, ancak anlayamadığım bir adım var. Birisi anlayabiliyorsa, lütfen bir cevap gönderin ve benimkini silerim.

— Gilles 'SO- kötü olmayı bırak'

Yanıtlar:

İki karşı örnek:

$(\lambda x. b x (b c)) c$ ve $(\lambda x. x x) (b c)$ (Plotkin).
$(\lambda x. a (b x)) (c d)$ ve $a ((\lambda y. b (c y)) d)$ (Van Oostrom).

Aşağıda ayrıntıları verilen karşı örnek Lambda Hesabı: HP Barenredgt tarafından yazılan sözdizimi ve anlambilimi , gözden geçirilmiş baskı (1984), alıştırma 3.5.11 (vii). Plotkin'e (kesin referans yok) atfedilir. Farklı bir karşı örnek için Vincent van Oostrom'un kanıtından uyarlanan tamamlanmamış bir kanıt veriyorum, Take Five: Easy Expansion Exercise (1996) [PDF] .

İspatın temeli, sadece belirli bir formun beta genişlemelerini dikkate almamızı sağlayan standardizasyon teoremidir. Sezgisel olarak, standart bir azalma, tüm kasılmalarını soldan sağa yapan bir azalmadır. Daha kesin olarak, bir redüksiyon bir kademe mevcuttur standart olmayan ancak ve ancak bir $M_i$ REDEX önceki aşaması REDEX solundaki bir REDEX bir kalıntı olup $M_j$ ; Bir redex için “sol” ve “sağ”, redex büzülünce atılan $\lambda$ pozisyonuyla tanımlanır . Orada eğer standardizasyon teoremi durumları $M \rightarrow_\beta^* N$ daha sonra standart bir azalma vardır $M$ için $N$ .

Let $L = (\lambda x. b x (b c)) c$ ve $R = (\lambda x. x x) (b c)$ . Her iki terim de beta-azaltmak $b c (b c)$ tek bir adımda.

Ortak bir ata olduğunu varsayalım $A$ şekilde $L \leftarrow_\beta^* A \rightarrow_\beta^* R$ . Standardizasyon teoremi sayesinde her iki azaltmanın da standart olduğunu varsayabiliriz. Genelliği kaybetmeden, $A$ bu indirimlerin farklı olduğu ilk adım olduğunu varsayalım . Bu iki azalmaların, izin $\sigma$ ilk aşamanın REDEX diğer sola doğru bir ve yazma olmak $A = C_1[(\lambda z. M) N]$ $C_1$ bu daralmanın bağlamı ve $(\lambda z. M) N$ redeks. Let $\tau$ diğer azalma olabilir.

Yana $\tau$ standarttır ve ilk adımı deliğin sağında $C_1$ , en sözleşme yapamaz $C_1$ ne de bunun solunda. Bu nedenle, son dönem $\tau$ biçimi olan $C_2[(\lambda z. M') N']$ parçaları $C_1$ ve $C_2$ deliklerinden kalan özdeş olan $M \rightarrow_\beta^* M'$ ve $N \rightarrow_\beta^* N'$ . Yana $\sigma$ de azaltarak başlar $C_1$ ve daha fazla sol azaltan hiç nihai süreli bir şekilde olmalıdır $C_3[S]$ parçası burada $C_3$ deliğinden sola sol kısmında aynıdır $C_1$ ve $C_2$ ve $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* S$ .

$L$ ve $R$ her birinin , uygulama operatörünün solunda en üst düzeyde bulunan tek bir lambda bulunduğunu gözlemleyin . Yana $\tau$ bir lambda korur $\lambda z. M$ , bu lambda, $L$ veya $R$ $\tau$ son terimi hangisi olduğu ve bu terimde, başvurunun argümanı $N$ azaltılmasıyla elde edilir . REDEX, yani toplevel olan $C_1 = C_2 = C_3 = []$ .

Eğer $\tau$ uçlar $R$ sonra, $M \rightarrow_\beta^* z z$ , $N \rightarrow_\beta^* b c$ ve $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. b x (b c)) c$ . Eğer $N$ bir soyundan olan $L$ bu soyundan ayrıca azaltmak gerekir $b c$ normal biçimi olan $N$ . Özellikle, $N$ , böylece bir lambda olabilir $\sigma$ biçiminin bir subterm bulaşabilir soyundan . Tek subterm yana azaltır olan , tek olası soyundan içinde tek bir durumdur kendisi. $\check{N} P$ $\check{N}$ $N$ $L$ $b c$ $b c$ $N$ $L$ $b c$
Eğer $\tau$ uçlar $L$ , o zaman $M \rightarrow_\beta^* b z (b c)$ , $N \rightarrow_\beta^* c$ ve $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. x x) (b c)$ . $N$ $R$ bir torunu varsa , bu torunun da birleşerek $c$ indirilmesi gerekir .

Bu noktada, sonuç van Oostrom'a göre kolayca takip edilmelidir, ancak bir şey eksik: $N$ soyundan gelen izlemenin $M$ hakkında nasıl bilgi verdiğini görmüyorum . Eksik yazı için özür dilerim, bir gecede düşüneceğim.

— Gilles 'SO- şeytan olmayı bırak'
kaynak

$\beta$ $x$ $v$ $(\lambda x.v)\;t_1 \to_\beta v$ $(\lambda x.v)\;t_2 \to_\beta v$ $t_1$ $t_2$ $\beta$ $t_1$ $t_2$ $u$ $u \to_\beta^\ast t_1$ $u \to_\beta^\ast t_2$

— Rodolphe Lepigre
kaynak

(λ x . v) t_{1} \leftarrow (λ x . (λ x . v) t_{1}) t_{2} \to (λ x . v) t_{2}

$(\lambda x .v) t_1\leftarrow (\lambda x .(\lambda x .v) t_1)t_2\rightarrow (\lambda x .v) t_2$

Lanet olsun, haklısın! Daha sonra başka bir şey düşünmeye çalışacağım, şu anda vaktim yok.

— Rodolphe Lepigre