DAG'da kenar etiketleme sorunu için Tam Algoritma

Bir kısmını yardım gerektiren bir sistem uyguluyorum. Bu nedenle, etki alanını bağımsız hale getirmek için bir grafik sorunu olarak çerçeveliyorum.

Sorun: Yönlendirilmiş asiklik grafik . Genelliği kaybetmeden varsayalım tam olarak bir kaynak tepe vardır ve sadece tek bir lavabo köşe ; izin tüm yönlendirilmiş yollar kümesini ifade için olarak . Ayrıca köşeleri kümesi verilir . Sorun kenarlarına negatif olmayan bir tamsayı ağırlıkları atamak için herhangi iki yol, yani , aynı ağırlığa sahip onlar köşe aynı alt kümesini içerir, ancak ve ancak $G=(V,E)$ $G$ $s$ $t$ $P$ $s$ $t$ $G$ $R \subseteq V$ $G$ $P$ $R$ . (Bir yolun ağırlığı kenarlarından ağırlıklarının toplamıdır.) 'De yolların ağırlıkları aralığı mümkün olduğu kadar küçük olmalıdır. $P$

Şu anda benim yaklaşımım etkili görünmüyor; Sadece edebiyata bazı referanslar ya da bazı iyi anlayışlar arıyorum. Aksi takdirde her şey takdir edilmektedir.

Düzenleme: Bu sorun için bir sertlik kanıtı var mı? Kompakt numaralandırma her zaman mevcut mu?

— user5153
kaynak

lütfen "P'deki yolların ağırlık aralığı uygun olmalıdır." Ağırlıklar sadece tamsayılar mı? Negatif ağırlıklara izin veriliyor mu? Optimal "mümkün olduğunca küçük bir aralık" anlamına mı geliyor yoksa başka bir şey mi ifade ediyor?

— Artem Kaznatcheev

soruyu düzenledim. yorumun için teşekkürler. ağırlıklar negatif olmayan tamsayılar ve aralık mümkün olduğunca küçük olmalıdır.

— user5153

Geçerli bir çözüm bulmak için basit bir strateji, R'deki her köşe v'ye iki farklı bir güç atamak, bu sayıyı v'ye gelen tüm kenarların ağırlığı olarak kullanmak ve kalan tüm kenarlara sıfır ağırlık atamak olacaktır. Açıkçası, bu optimal olmayabilir, ancak en azından ihtiyaç duyulan aralıkta bir üst sınır verir. R'de aynı tepe noktasından farklı kenarların birbirinden farklı ağırlıklara sahip olması hiç bir gelişme oldu mu, yoksa ağırlıkları kenarlardan ziyade köşe noktalarına getirerek sorunu basitleştirebilir misiniz?

— David Eppstein

BTW @ DavidEppstein'ın cevabı, bir yolun maksimum toplam ağırlığının . Bu sabitler kadar sıkı. Örnek olarak, , ve grafiğini alabilirsiniz . Ayrıca . Var farklı yollar ile , ve her bir yol negatif olmayan bir tamsayı ağırlığına sahip olduğu için, en az bir ihtiyaç ağırlığı en az olması .

O (2^{| R |})

$O(2^{|R|})$

G = (V, E)

$G = (V, E)$

V = [n] \cup {s, t}

$V = [n] \cup \{s, t\}$

E = {(i, j) : i < j} \cup {(s, 1), (n, t), (s, t)}

$E = \{(i, j): i<j\} \cup \{(s, 1), (n, t), (s, t)\}$

R = [n]

$R = [n]$

2^{n}

$2^n$

R

$R$

2^{n} - 1

$2^n -1$

— Sasho Nikolov

emin, ben kötü durumda sıkı demek (aslında kaybettim bu yorumun ilk sürümü yazdı). henüz hiç kimse optimizasyon problemini çözmediğinden, mutlak sınırları ilk olarak belirlemenin iyi olacağını düşündüm.

— Sasho Nikolov

-6

havent bu sorunu tam olarak edebiyatta duymuştu [belki bir başkası vardır] ancak "yakındaki bir sorun" olarak bana asgari yayılan ağacın sorununuzu çözmek için yararlı özelliklere sahip olacağını düşünüyorum. örneğin, kaynak tepe noktasından ve senkronize tepe noktasından başlayarak iki minimum yayılan ağaç üretmek ve dokunana kadar dışarı doğru yaymak, vb. sorunu çözebilir veya yakın bir cevap verebilir. kimse beni burada bu konuda dz önce plz anlamak MST fikrini belirli bir tepe noktası (normalde tüm grafiğin en kısa kenarından başlar) başlayarak oluşturulan biraz genişletiyorum. eğer işe yaramazsa sebebini merak ediyorum.

— vzn
kaynak

Maalesef, bu sorunun bu soruya uygun olduğunu görmüyorum.

— David Eppstein

belki onun neden bahsettiği hakkında daha iyi bir fikrin var mı? belirtildiği gibi sizin için anlamlı mı?

— vzn

Kenarlara ağırlık ataması gerekiyor . Bir MST hesaplamak buna nasıl yardımcı olur?

— Nicholas Mancuso

okuduktan sonra, ve başka kimse bir cevap önermediğinde, problem iki parçaya dönüştürülebilir gibi görünüyordu - (1) kriterlere / kısıtlamalara dayalı ağırlıklar atayın, (2) bu ağırlıklara göre en kısa yolları bulun. MST yararlı olabilir gibi görünüyor (2). ya da olmayabilir! (örneğin, belki 1/2

— katı

Hayır. Minimum yayılan ağaçlar yalnızca yönlendirilmemiş grafikler içindir; giriş grafiği yönlendirilir. Dahası, minimum yayılan ağaçlar sadece yüzeysel olarak en kısa yollarla ilişkilidir.

— Jeffε