Merlin için geçerli cevapların benzersizliğini zorunlu kılmak Arthur-Merlin protokollerinin gücünü sınırlıyor mu?

Önsöz.

Karmaşıklık sınıfı AM , bir "Merlin" ve bir doğrulayıcı "Arthur" arasındaki iki yönlü interaktif kanıtlama sistemi ile çözülebilen problemlerdir. Bir sorun, - bir amacı, bazı özelliklerini test eder , X - olan AM ise:

İçin VAR (polinom uzunlukta) bir rastgele "meydan okuma" mesajı örnekleri, Arthur Merlin a (polinom uzunluk) formüle Arthur kanıtı olarak kullanabilir olan cevap yüksek olasılıkla, oluşturur X, özelliği;
İçin hiçbir durumda, yüksek bir olasılık Merlin Arthur üreten bir rasgele zorluk mesaj için, ilgili test edilen özellik için kanıt olarak kullanılabilen herhangi bir cevap formüle edilemez X .

- Merlin'in sadece yüksek olasılıkla değil , Arthur'un verebileceği herhangi bir zorluk için yararlı bir cevap vermesini gerektirdiğimizde, tanımlanan sınıf değişmez ; bu durumda Merlin'in cevabının her zaman YES örnekleri için geçerli olmasını istediğimizi ve Arthur'un testin cevabın geçerliliği olduğunu söyleyebiliriz . Merlin geçersiz bir yanıt üretirse, Arthur sorun örneğinin NO örneği olduğunu bilir . Bu, dikkate almayı tercih ettiğim ayardır.

Bir örnek, İzomorfizm Olmayan Grafiktir: G ve H grafiklerine aynı köşe etiketi seti verildiğinde Arthur, grafiklerden birini rastgele seçebilir ve köşe etiketlerine izin vererek Merlin'e bir sunum göndererek "şifreli" bir F versiyonu üretebilir. . İki grafik olmayan izomorfik ise, Merlin hangi belirleyebilir G veya H olmadığını belirleyerek tercih Arthur F ≅ G veya F ≅ H ve iki hangisinin belirleyerek cevap verebilir F izomorf. İki G ve H grafiği izomorfik ise, Merlin hangi grafiği ayırt edemezF geldi ve verdiği cevap ancak şans eseri doğru olabilir. Böylece, YES örnekleri için Merlin her türlü zorluğa her zaman geçerli bir yanıt gönderebilir; NO örnekleri için Merlin'in gönderebileceği herhangi bir yanıt yüksek olasılıkla geçersiz olacaktır.

Yukarıdaki problemde, Merlin'in her meydan okuma için Arthur'a verebileceği geçerli bir yanıt var olmakla kalmıyor, aynı zamanda benzersiz bir geçerli yanıt var: yani , G veya H Arthur'un hangisini seçtiğini göz önüne alarak hangisinin F'ye izomorfik olduğunu belirleme .

Soru.

Söz konusu - bu satırlar boyunca bir sınırlama empoze mu EVET durumlarda, Arthur gönderebilir herhangi meydan okuma için, orada tam olarak bir Merlin için geçerli bir yanıt - eşit bilinmemektedir bir sınıf veren anlamında, bir daha kısıtlayıcı sınıf verim AM ?

cc.complexity-theory interactive-proofs unique-solution

— Niel de Beaudrap
kaynak

AM'ye eşit olup olmadığını düşünmeden önce, NP'nin sınıfınızda bulunduğunu nasıl kanıtlayacağımı bile göremiyorum….

— Tsuyoshi Ito

Merlin'in sadece yüksek olasılıkla geçerli bir yanıta sahip olmasını istiyorsak, sınıf NP içerir (ve sanırım tüm AM): Arthur'un Valiant-Vazirani'yi Unique-SAT'a indirmesini sağlayabiliriz.

— Emil Jeřábek Monica

@Emil: “Yüksek olasılık” 1 / poli ise, ancak bu olasılığı sabit bir değere artırmak mümkün mü anlıyorum?

— Tsuyoshi Ito

Yeterince adil, bu aslında oldukça küçük bir olasılık. Nasıl sabit hale getireceğimi bilmiyorum.

— Emil Jeřábek Monica

Halka açık jeton protokollerini veya özel jeton protokollerini mü düşünüyorsunuz? Tanımdan, kamu madeni para protokollerini düşünüyorsunuz, ancak tarif ettiğiniz grafik izomorfizm protokolü bir kamu madeni para protokolü değil.

— Tsuyoshi Ito

$m$ $n$ $\mathbb{C}^n$ $p$ $H(p)=0$ $H$ $(a_0,a_1,\cdots, a_n)$ $m$ $\bmod p$

$\bmod p$ $p$ $\bmod p$ $p$ $p$

$p$ $\mathbb{C}^n$ $p$ $a$ $1-1/e$

Dolayısıyla, yukarıdaki problemde, Merlin'in her bir meydan okuma için Arthur'a verebileceği geçerli bir yanıt var olmakla kalmaz, aynı zamanda çok sayıda geçerli yanıt da olabilir.

$p$ $p$

— Mark S
kaynak