Arasında unprovability Etkileri

22

" P Versus NP resmi olarak bağımsız mı? " Okuyordum ama şaşırdım.

Yaygın olarak karmaşıklık teoride inanılan . Benim sorum bu kanıtlanabilir değilse (söylediklerine hakkındadır ). (Sadece bağımsız olduğunu ancak bunun nasıl kanıtlandığı hakkında daha fazla bilgi bulamadığımızı varsayalım .) $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $ZFC$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $ZFC$

Bu ifadenin sonuçları ne olacak? Daha spesifik olarak,

sertlik

Varsayarak verimli algoritmalar (yakalama Cobham-Edmonds tezi ) ve , ispat sonuçlar bizim etkili algoritmalar, bu ötesinde olduğunu ifade eder. Ayrımı ispatlarsak, polinom zaman algoritması olmadığı anlamına gelir. Peki bir $\mathsf{P}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{NP\text{-}hardness }$ $\mathsf{NP\text{-}hardness}$ ayırma kanıtlanabilir değilse ortalama sonucu? Bu sonuçlara ne olacak? $\mathsf{NP\text{-}hardness }$

verimli algoritmalar

Ayrılmanın kanıtlanamaz olması, etkin algoritma tanımımızı değiştirmemiz gerektiği anlamına mı geliyor?

— karthik
kaynak

13

Sormanız gereken ilk şey: resmi olarak neyden bağımsız? Matematiksel mantıkta, insanların düşündüğü birçok aksiyom seti vardır. Varsayılan olan ZFC veya Zermelo-Fraenkel Seçim Aksiyomu ile teori setidir. ZFC'den bağımsız olmanın anlamı, bu aksiyomlardan ne P = NP ne de P! = NP'nin kanıtlanamamasıdır.

— Peter Shor

2

“X'in aksiyomatik sistem Y'den bağımsız olup olmadığı” formunun ifadesinin nasıl bir kanıt olduğunu bilmek istiyorsanız, neden sadece bazı örnekleri okumuyorsunuz? Seçim Aksiyomunun Zermelo-Fraenkel set teorisinden bağımsızlığı ünlü bir örnektir. Yanlışlıkla gerçek bir soru olarak kapanmaya oy verdim, ama konu dışı kapatmak için oy vermek istedim.

— Tsuyoshi Ito

15

Çok iyi ve özgürce ulaşılabilen Scott Aaronson'un belgesini okudunuz mu? "NP'ye Karşı P Resmi Olarak Bağımsız mı?" ( scottaaronson.com/papers/pnp.pdf )

— Marzio De Biasi

2

"X'in ZFC'den bağımsız olduğu kanıtlanırsa ve X

Y biçiminde bazı teoremlerimiz varsa , bu teoremlere ne olur?" iyi pozlanmış gibi görünüyor ve OP'nin sorduğuna inandığım soru. Cevap şöyle görünecektir: ZFC + X gibi bazı aksiyom sistemlerinde Y tutma özelliğine sahipken, ZFC +

X'te Y hakkında hiçbir bilgimiz yoktur. Bu nedenle, bu koşullu teoremlerin hala bir değeri olacaktır. Aslında, bu durumda

X'in bir teorem olduğu kanıtlanana göre daha fazla değere sahip olacaklardı .

\to

$\rightarrow$

\neg

$\lnot$

\neg

$\lnot$

— András Salamon

2

P'nin NP'ye karşı ZFC'nin kanıtlanamazlığı muhtemelen Set Teorisi için Karmaşıklık Teorisinden çok daha fazla ima eder.

— David Harris

18

Sorunuz daha iyi ifade edilebilir, "Karmaşıklık teorisi, P = NP'nin bazı güçlü aksiyomatik sistemden resmi olarak bağımsız olduğuna dair bir kanıtın keşfinden nasıl etkilenir?"

Bu soruyu özette, yani ispatın ayrıntılarını göremediğinde cevaplamak biraz zor. Aaronson'un makalesinde belirttiği gibi, P = NP'nin bağımsızlığını kanıtlamak, sadece karmaşıklık teorisi hakkında değil, bağımsızlık ifadelerinin nasıl kanıtlanacağı konusunda kökten yeni fikirler gerektirecektir. Halen şeklini tahmin edemediğimiz radikal bir atılımın sonuçlarını nasıl tahmin edebiliriz?

Yine de yapabileceğimiz birkaç gözlem var. Süreklilik hipotezinin ZFC'den (ve daha sonra ZFC + büyük kardinallerden) bağımsızlığının kanıtının ardından, büyük sayıda insan süreklilik hipotezinin ne doğru ne de yanlış olmadığı görüşüne geldi . İnsanların benzer şekilde bağımsızlık kanıtı sonrasında P = NP'nin "ne doğru ne de yanlış" olduğu sonucuna varıp ulaşamayacağını sorabiliriz (argüman uğruna, P = NP'nin ZFC + herhangi bir büyük kardinal aksiyom). Benim tahminim öyle değil. Aaronson temelde söylemeyeceğini söylüyor. Goedel'in 2. eksiklik teoremi, bildiğim kimseyi "ZFC tutarlı" nın ne doğru ne de yanlış olduğunu iddia etmesine yol açmadı.ve çoğu insanın aritmetik ifadelerin veya en azından "P = NP" kadar basit olan aritmetik ifadelerin doğru veya yanlış olması gerektiği gibi güçlü sezgileri vardır. Bağımsızlık kanıtı sadece P = NP ve P NP'nin hangisi olduğunu belirleme yolumuz olmadığını söyleyerek yorumlanabilir . $\ne$

İnsanların bu durumu bize P ve NP tanımlarımızda "yanlış" bir şey olduğunu söyleyip yorumlamadığını sorabilir. Belki de o zaman karmaşıklık teorisinin temellerini, çalışmak için daha izlenebilir olan yeni tanımlarla yeniden yapmalıyız? Bu noktada, henüz elde etmediğimiz köprüleri geçmeye çalıştığımız ve henüz kırılmayan şeyleri düzeltmeye çalıştığımız vahşi ve verimsiz spekülasyon alanında olduğumuzu düşünüyorum. Dahası, hatta o şey açık değil ederimbu senaryoda "kırılmış" olun. Set teorisyenleri uygun buldukları büyük kardinal aksiyomları varsayarlar. Benzer şekilde, karmaşıklık teorisyenleri, bu varsayımsal gelecek dünyasında, kanıtlanamaz olsalar bile, doğru olduklarına inandıkları herhangi bir ayrılma aksiyomunu varsayarak mükemmel bir şekilde mutlu olabilirler.

Kısacası, P = NP'nin bağımsızlık kanıtından mantıklı bir şey gelmez. Karmaşıklık teorisinin yüzü olabilir böyle fantastik bir atılım ışığında kökten değiştirmek, ama biz sadece beklemek ve hangi atılım görünüyor gibi görmek gerekir.

— Timothy Chow
kaynak

3

@vzn: Örnekleriniz sadece "tartışmalı" aritmetik değil; onlar konum tartışmasız aritmetik. Ama ne demek istediğinden emin değilim. Diophant denklemi atın

"o mülkle

hiçbir çözümleri vardır" ZFC içinde undecidable. Demek istediğim, tanıdığım herkesin ya

çözümleri olduğuna ya da çözmediğine inanıyor ve bunu şu ya da bu şekilde kanıtlayamıyoruz. Eğer olmadığı konusunda maddenin hiçbir gerçek var inanıyor musunuz

sahiptir çözümler yani

sahiptir ne de çözüm yok ne?

E

$E$

E

$E$

E

$E$

E

$E$

E

$E$

— Timothy Chow

4

@vzn: Sanırım konuyu tamamen özlüyorsun. Soru, belirli bir ifadenin kararsız olup olmadığı değil, doğru ya da yanlış olup olmadığıdır . Bu iki kavram tamamen farklıdır. Örneğin, ZFC'nin ne tutarlı ne de tutarsız olduğunu söyleyebilir misiniz? Tanıdığım herkes (ZFC) tutarlıdır ya da durumun hangisi olduğunu belirlememize rağmen, öyle değildir.

— Timothy Chow

3

"Bu bana din değil matematik gibi geliyor" - Metamathematics hoş geldiniz. Belki de "X ne doğru ne de yanlıştır" demenin daha az sakıncalı bir yolu, X'in yanlış olduğu bir aksiyomatik sistem yerine X'in doğru olduğu bir aksiyomatik sistemi tercih etmemiz için a priori bir nedenimiz olmamasıdır. Evrensel olarak kabul edilmiş standart bir aritmetik modelimiz var; sosyal bir kural olarak, bu modelde yer alan aritmetik ifadeleri gerçekten, gerçekten doğru olarak kabul ediyoruz . Aynı şey küme teorisi için söylenemez.

— Jeffε

2

Ayrıca bkz. Consc.net/notes/continuum.html ve mathoverflow.net/questions/14338/… - Her matematikçinin kişisel biçimcilik, platonizm ve sezgisel karışımı esasen dini bir inançtır .

— Jeffε

2

@vzn: Konuyu hala özlüyorsun. Size kişisel dini inançlarınızı verse bile, söylediğiniz tek şey aritmetik cümlelerin doğru ya da yanlış olduğunu beyan etmede Aaronson'a ve dünyanın geri kalanına katılmayacağınızdır. Hepimiz , bir ifadenin biçiminin kararsız olup olmadığını söylemenin bir yolu olmadığını kabul ediyoruz , ancak iddia bu değil. İddiası sen hariç hemen hemen herkes olmasıdır gelmez aritmetik ifadeler dair güçlü sezgileri var ya doğru ya da yanlış . Bu inancı paylaşmamanız başkalarının sahip olmadığı anlamına gelmez.

— Timothy Chow

11

Belki de ne yazık ki biraz ifade edilmiş olsa da bu geçerli bir soru. Verebileceğim en iyi cevap bu referans:

Scott Aaronson: P'ye karşı NP resmi olarak bağımsız . Avrupa Teorik Bilgisayar Bilimleri Derneği Bülteni, 2003, cilt. 81, sayfa 109-136.

Özet: Bu, (yazar gibi) mantığı yasaklayıcı, ezoterik ve her zamanki endişelerinden uzak gören insanlar için yazılan başlık sorusu ile ilgili bir ankettir. Zermelo Fraenkel set teorisi üzerine bir çarpışma dersi ile başlayarak, oracle bağımsızlığını tartışır; doğal kanıtlar; Razborov, Raz, DeMillo-Lipton, Sazanov ve diğerlerinin bağımsızlık sonuçları; ve güçlü mantıksal teorilerden bağımsız olarak P'ye karşı NP'yi kanıtlamanın önündeki engeller. Matematiksel bir sorunun ne zaman kesin bir cevabı olmasını beklemesi gerektiğine dair bazı felsefi düşüncelerle biter.

— Andrej Bauer
kaynak

2

Aaronson'un gazetesinin yorumlarda zaten belirtildiği gerçeğini tamamen kaçırdım. Özür dilerim.

— Andrej Bauer

7

$[ZFC][1]$ . Bu sadece teorinin ne ifadeyi ne de olumsuzluğunu kanıtlayamayacağı anlamına gelir. İfadenin bir doğruluk değeri olmadığı anlamına gelmez, ifadenin doğruluk değerini bilemeyeceğimiz anlamına gelmez, teoriyi yeterince güçlü kılacak yeni makul aksiyomlar ekleyebiliriz ifadelerini veya olumsuzlamalarını kanıtlamak için. Sonunda, bir teoride provaktivite resmi bir soyut kavramdır. Gerçek dünya deneyimimizle sadece model olarak ilgilidir.

$\mathsf{P}$

$\Sigma_1$ $\Pi_1$ Mantık Yoluyla Topoloji ", 1996.)

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\Sigma_2$ ve FOM posta listesindeki yayınlarda arama yapın .

— Kaveh
kaynak

4

Bu makalede kanıtlandığı gibi:

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf

P! = NP'nin Peano Aritmetik'ten bağımsız olduğu gösterilebiliyorsa, NP aşırı derecede polinomun deterministik süresinin üst sınırlarına sahiptir. Özellikle, böyle bir durumda, SAT girişini sonsuz sayıda dev aralıkta doğru şekilde hesaplayan bir DTIME (n ^ 1og * (n)) algoritması vardır.

— Avi Tal
kaynak

0

Bunun hakkında kafa karıştırıcı bazı düşünceler. Eleştirmekten çekinmeyin.

Q = [ispatlayamaz (P = NP) ve ispat edemez (P / = NP)]. Bir çelişki için Q varsayalım. Ayrıca P ve NP hakkında bilinen tüm keşiflerin hala geçerli olduğunu varsayacağım. Özellikle, tüm NP problemleri, bunlardan birini polinom zamanında çözebiliyorsanız, diğerlerini polinom zamanında çözebileceğiniz anlamında eşdeğerdir. Bu yüzden W bir NP tam problemi olsun; W, NP'deki tüm sorunları eşit olarak temsil eder. Q nedeniyle, polinom zamanında W'yi çözmek için A bir algotitması elde edilemez. Aksi takdirde Q (1) (*) ile çelişen P = NP'nin kanıtı var. Tüm algoritmaların tanım gereği hesaplandığını unutmayın. Yani A'nın var olamayacağını söylemek, polinom zamanında W'yi hesaplamanın bir yolu olmadığını ima eder. Ancak bu Q (2) ile çelişmektedir. (1) x veya reddetmeyi (2) reddetmemiz gerekiyor. Her iki durum da bir çelişkiye yol açar. Dolayısıyla Q bir çelişkidir,

(*) "Aha! A var olabilir, ama biz bulamayız" diyebilirsiniz. Eğer A varsa, boş programdan başlayarak daha küçük programlardan daha büyük programlara numaralandırarak A'yı bulmak için tüm programlar arasında numaralandırma yapabiliriz. A bir algoritma olduğu için sonlu olmalıdır, bu yüzden A varsa, onu bulmak için numaralandırma programı sona ermelidir.

— Thomas Eding
kaynak

1

@Victor: İyi bir nokta. Eğer A varsa, o zaman basitçe polinom zamanında NP tam bir sorunu çözüp çözmediğini görmek için her numaralandırılmış programı analiz edebilirsiniz. Birinin (bazı evrensel bilgisayarlar tarafından verilen) sınırlı bir komut seti ile çalıştığı için A'nın tanımlanabileceğine inanıyorum. Ama ben uzman değilim.

— Thomas Eding

1

Sorun şu ki, eğer Q doğruysa, o zaman kimsenin, ne kadar zeki olursa olsun, numaralandırıcı tarafından üretilen belirli bir algoritmanın X'in bile P = NP'yi çözdüğünü kanıtlayamadığı bir duruma düşeceğiz. Bu durumda, P = NP'nin var olup olmadığını ve bulunup bulunmadığını belirleyen bir algoritma, ancak doğruluğunu analitik olarak kanıtlamak imkansızdır. Ayrıca "X algoritması P = NP problemini çözüyor mu?" çok kararsız geliyor.

— Victor Stafusa

1

Ayrıca ... Eğer A varsa, N'nin A'nın boyutu olmasına izin verin. T, <= N boyutundaki tüm programların kümesi olsun. Biri, T'deki tüm A 'üzerinde W'yi aynı anda çalıştırabilir. Her A' sona erdiğinde, çalıştırın O'nun W'yi çözüp çözmediğini kontrol eden bir program aracılığıyla O çıkışı. (NP tam sorununa 'çözüm' denilen herhangi bir şeyin polinom zamanında doğrulanabileceğini unutmayın.) O doğru bir yanıtsa, diğer tüm bilgisayarları kapatın ve O'ya dönün. Her A 'nın sona ermemesi gerektiğini unutmayın, çünkü A bunlardan biridir ve polinom zamanında doğru bir O verir. Dolayısıyla A'nın P = NP'yi çözdüğünü kanıtlamaya bile gerek yoktur. N tanım gereği var.

— Thomas Eding

1

(*) Bölümünüzde: "A bir algoritma olduğu için sonlu olmalıdır, bu yüzden A varsa, onu bulmak için numaralandırma programı sona ermelidir." Bu, numaralandırıcının bir şekilde yeni oluşturduğu programın polinom zamanında NP-tam bir problemi çözüp çözmediğini belirleyebilmesi gerektiği anlamına gelir; .

— Victor Stafusa

3

"P = NP ZFC bağımsızdır" dır değil Victor işaret ettiği gibi, "biz deterministik polinom zamanda NP herhangi bir sorunu çözmek için bir algoritma bulamıyor" ile aynıdır. Bu sınıfların kesin tanımları, bir teoriye göre bağımsızlık gibi kavramlarla uğraşırken oldukça önemlidir.

— András Salamon