Kalıtsal sınıfların küresel özellikleri?

Kalıtsal bir yapı sınıfı (örn. Grafikler) indüklenmiş alt-yapılar altında kapalı veya eşdeğer şekilde tepe noktası çıkarma altında kapalı olan yapılardır.

Bir küçüğü hariç tutan grafik sınıfları, hariç tutulan belirli minörlere bağlı olmayan güzel özelliklere sahiptir. Martin Grohe, bir minör hariç grafik sınıfları için izomorfizm için bir polinom algoritması ve sayımlı sabit nokta mantığının bu grafik sınıfları için polinom zamanını yakaladığını gösterdi. (Grohe, Hariç Tutulan Çocuklarla Grafiklerde Sabit Nokta Tanımlaması ve Polinom Zamanı , LICS, 2010.) Bunlar "küresel" özellikler olarak düşünülebilir.

Kalıtsal sınıflar (grafikler veya daha genel yapılar) için bilinen benzer "küresel" özellikler var mı?

Her cevabın sadece belirli bir mülke odaklandığını görmek iyi olur.

Kalıtsal özellikler aşağıdaki anlamda çok "sağlamdır".

Noga Alon Asaf Shapira'nın gösterdi kalıtsal özelliği söz konusu , bir grafik kullanıcı, G, birden fazla ihtiyaç ε , n 2 kenarları ilave veya karşılamak için kaldırılması gereken P , daha sonra bir alt grafiğinin olduğu G en boyutunun, ön P ( ϵ ) , ki bu P'yi karşılamamaktadır . Burada f işlevi yalnızca P özelliğine bağlıdır ( örneğin G grafiğinin boyutuna bağlı değildir ). Erdős, sadece k- renklendirilebilirliğinin mülkiyeti hakkında böyle bir kavrayış yapmıştı.${\cal P}$$G$$\epsilon n^2$${\cal P}$$G$$f_{\cal P}(\epsilon)$${\cal P}$$f$${\cal P}$$G$$k$

Gerçekten de, Alon ve Shapira aşağıdaki daha güçlü gerçeği kanıtlarlar: verildiğinde , herhangi bir ϵ in ( 0 , 1 ) için N ( ϵ ) , h ( ϵ ) ve δ ( ϵ ) vardır, böylece bir grafik G en az N'ye sahipse köşeleri ve ihtiyaçları az £ değerinin n 2 ilave / tatmin etmek için uzaklaştırıldı kenarları P , o zaman en azından için δ üzerinde uyarılan Alt Graflar fraksiyonu h köşe uyarılmış alt grafiğinin ihlal${\cal P}$$\epsilon$$(0,1)$$N(\epsilon)$$h(\epsilon)$$\delta(\epsilon)$$G$$N$$\epsilon n^2$${\cal P}$$\delta$$h$ . Böylece, ε ve özellik P testi için, sabit bir giriş grafik tatmin eğer P ya da ε karsilayamamasi -far P , daha sonra bir tek grafikten sabit boyutta bir rastgele kaynaklı alt grafiği kenarlarını sorgulamak için ihtiyaç ve özelliği karşılayıp karşılamadığını kontrol edin. Böyle bir test hep tatmin edici grafikler kabul edeceğini P ve grafikler reddedecek s sabit olasılık ile tatmin gelen -far. Dahası, bu anlamda tek taraflı test edilebilir herhangi bir mülk kalıtsal bir özelliktir! Ayrıntılar için Alon ve Shapira'nın makalesine bakın.${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$

Bu, aklınızdakiler olmayabilir, ancak kalıtsal bir grafik sınıfında köşelerde kaç grafik olabileceği konusunda bilinen kısıtlamalar vardır. Örneğin, n köşelerinde 2 Ω ( n ) ve 2 o ( n log n ) grafik içeren kalıtsal bir grafik sınıfı yoktur .$n$$2^{\Omega(n)}$$2^{o(n\log{n})}$$n$

Kaynak: E. Scheinerman, J. Zito, Kalıtsal Grafik Sınıflarının Boyutu Üzerine, Kombinatoryal Teori Serisi B Dergisi

Bu Travis'in cevabı ile ilgilidir. Aslında, daha güçlü bir versiyon olarak düşünülebilir.

Bollob \ 'as ​​ve Thomason'un (Combinatorica, 2000) bir makalesi , Erd \ H {o} sR \' enyi rastgele grafiklerde ( p sabit bir sabit ile), her kalıtsal özelliğin, temel bir özelliği çağırır . Temel neredeyse kimin köşe takımları birliği olan grafikleri anlamına r sınıfları, s hangi yayılma klikler ve r - s ama tamamen değil, hangi bağımsız setleri kapsar. Bu yaklaşım, bir en büyük boyut tanımlamak için kullanılır P -SET olarak P ve -Kromatik sayısı G , n $G_{n,p}$$p$$r$$s$$r-s$$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$ , burada P sabit kalıtsal bir özelliktir. Eğerpdeğiştirilmesi için izin verilen, davranış iyi anlaşılmış değildir.$G_{n,p}$$\mathcal{P}$$p$

Bu ve ilgili çalışma hakkında daha fazla bilgi için, Bollob \ 'as (ICM 1998 Proceedings), bu çizgiler boyunca ancak hipergraflar için cazip bir tahmin veren bir anket var .

Burada ve Alon ve Shapira sonuçlarında kullanıldığından, kalıtsal özellikler ile Szem \ 'in Regularity Lemma arasındaki derin bağlantıyı çok ilginç buluyorum.

Suresh'in AKR varsayımı hakkındaki cevabı bana kalıtsal özellikler için aynı varsayımı düşündürdü. Bence (bir hata yapmadım), önemsiz olmayan kalıtsal özelliklerin, ( bu tür özellikler için (sabitlere kadar)) AKR varsayımını belirleyen (randomize ve deterministik) karar ağacı karmaşıklığı gösterebilirim .$\Theta(n^2)$

Bunun bir yerde gösterilip gösterilmediğini görmek için literatürü araştırmaya çalıştım, ancak referans bulamadım. Bu yüzden ya bulamadım ama var ya da teorem ilginç değil ya da bir hata yaptım.

Bu, tüm kalıtsal grafik özelliklerinin küresel bir özelliğinin bir başka örneğidir.

$\Omega(n^c)$$c>0$

Bu "ters" yöndür, ancak iyi bilinen Aanderaa-Rosenberg-Karp varsayımı , monoton yukarı doğru olan grafik özellikleri için geçerlidir (yani, G özelliği karşılarsa, aynı düğümdeki kenar kümesi E (G içeren tüm grafikler de geçerlidir) )).