Açık

(Tara B Göre) DÜZENLEME: Hala ilgi duyarım referans başıma kağıt için kendim kanıtlamak zorunda gibi bu bir kanıtı için.

Bu yazıda yer alan Teorem 4'ün kanıtını arıyorum:

Liu ve Weiner tarafından Bağlamdan Bağımsız Dillerin Kesişme Hiyerarşisi .

Teoremi 4: Bir boyutlu afin manifoldu boyutuna sahip olup, bunların her biri afin manifoldların sonlu birlik olarak eksprese değildir veya daha azdır.n - $n$$n-1$

1. İspat için referans bilen var mı?
2. Manifold sonluysa ve elemanlar üzerinde doğal bir düzen tanımlarsak, kafesler açısından benzer bir ifade var mı?

Teoremi anlamak için biraz arka plan:

Tanım: Let rasyonel sayılar kümesi olsun. Bir alt bir benzeşik manifoldu eğer , ve . M ⊆ Q n ( λ x + ( 1 - λ ) y ) ∈ M x ∈ M y ∈ M λ ∈ $\mathbb{Q}$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$$x\in M$$y\in M$$\lambda\in\mathbb{Q}$

Tanım: Bazı için ise bir afin manifoldu nin bir afin manifold paralel olduğu söylenir . M M ′ = M + a a ∈ Q$M'$$M$$M'=M+a$$a\in \mathbb{Q}^n$

Teorem: Boş olmayan her afin manifold , benzersiz bir alt uzay ile paraleldir . Bu , cinsinden tarafından verilir K K K = { x - y : x , y ∈ M $M\subseteq \mathbb{Q}^n$$K$$K$$K=\{x-y:x,y\in M\}$

Tanım: boyutu , boş olmayan bir afin manifoldunun buna alt uzay paralel boyutudur.

Sezgisel olarak, teorem bir çizginin sonlu bir nokta birliği olmadığını, bir düzlemin sınırlı bir çizgi birliği olmadığını söyler. En basit kanıt, örneğin, sınırlı bir çizgi birliğinin sıfır alana sahip olduğunu gözlemlemektir. uçak yapmaz.

Daha somut olarak, kapanışlarına geçerek üzerindeki manifoldlar için iddiayı kanıtlamanın yeterli olduğunu gözlemleyin . doğrusal sistemine çözüm kümesi tarafından verilen bir afin manifoldu düşünün ; kapatılması, tam olarak aynı sisteme üzerinden bir dizi çözüm olacaktır , bu nedenle bu adım ilgili manifoldların boyutunu etkilemez. Ayrıca, sınırlı bir birliğin kapanması da kapanışların birleşmesine eşittir. M⊆ Q n Ax=b R$\mathbb{R}^n$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$A x = b$$\mathbb{R}^n$

Şimdi boyutunun bir manifoldunun -boyutlu Lebesgue ölçümünün null olduğunu unutmayın. Bu nedenle, bu tür manifoldların sonlu birliğinin -boyutlu Lebesgue ölçümü hala sıfırdır. Ancak boyutlu bir manifoldun boyutlu ölçümü sonsuzdur, dolayısıyla sıfır değildir.≤ d - 1 d d $d$$\le d - 1$$d$$d$$d$

İkinci sorunuza gelince, ne demek istediğinizden tam olarak emin değilim. Baz Alan Ama eğer sonlu ve ardından herhangi bir d boyutlu afin manifoldu üzerinde F n içeriyor | F | d puan. Benzer bir sayım argümanıyla, en azından ihtiyacınız var | F | d / | F | d - 1 = | F | boyuta afin alanlarda ≤ d - 1 boyuta bir afin alanı kapsayacak şekilde d .$\mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}^n$$|\mathbb{F}|^d$$|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$$\le d - 1$$d$

İşte rasgele sonsuz bir alanı üzerindeki afin manifoldları için çalışan ölçüsüz bir kanıt (sonuç sonlu alanlar için yanlıştır).$\mathbb F$

İle indüksiyonu ile , biz, bir benzeşik manifoldu gösterecektir bir ⊆ F m boyutunun n az boyutunun afin manifoldların sonlu birlik değildir n .$n\ge0$$A\subseteq\mathbb F^m$$n$$n$

için ifade açıktır : bir nokta boş kümelerin (sonlu) birleşimi değildir.$n=0$

İfadenin için saklandığını varsayalım, n + 1 için göstereceğiz . Let A = ⋃ i < k bir i , burada dim ( A ) = N + 1 ve loş ( A i ) ≤ n . N boyutunda keyfi bir afin altmanifold B ⊂ A düşünün . Yana B = ⋃ ı ( B ∩ bir i$n$$n+1$$A=\bigcup_{i<k}A_i$$\dim(A)=n+1$$\dim(A_i)\le n$$B\subset A$$n$$B=\bigcup_i(B\cap A_i)$, tümevarım hipotezi, bazı i < k için , yani B = A i anlamına gelir . Orada sadece olduğundan k setleri A i ve B keyfi oldu, o kadar da aşağıdaki bir boyutun sadece sonlu sayıda altmanifoldları sahiptir n . Bununla birlikte, bu bir çelişkidir: eğer böyle bir alt manifold B 0 ve A v'ye paralel fakat B 0'a v olmayan bir vektör v'yi sabitlersek$\dim(B\cap A_i)=n$$i<k$$B=A_i$$k$$A_i$$B$$A$$n$$B_0$$v$$A$$B_0$, B 0 + a v formunda sonsuz sayıda afin altmanifoldu vardır , burada bir ∈ F'dir .$A$$B_0+av$$a\in\mathbb F$