Bu en uygun seyahat problemi, ağaçlar için NP-zor tarihler altında mı?

Arkadaşlarımdan biri bana ağaç üzerinde aşağıdaki zamanlama sorununu soruyor. Çok temiz ve ilginç buluyorum. Referans var mı?

Sorun: Bir ağaç , her kenarın 1 simetrik seyahat maliyeti var . Her tepe , son teslim tarihi önce yapılması gereken bir görev vardır . Görev ayrıca olarak . Her görevin eşit değer 1 vardır. Her bir işlem için işlem süresi 0'dır , yani bir görevi son teslim tarihinden önce ziyaret etmek bitirmeye eşittir. Genelliği kaybetmeden, kökü göstermesine izin verin ve hiçbir görev olmadığını . 0 zamanında bir araç vardır. Ayrıca, her köşe için olduğunu varsayalım , $T(V,E)$ $v_i$ $d_i$ $v_i$ $v_0$ $v_0$ $v_0$ $d_i \ge dep_i$ $dep_i$ derinliği anlamına gelir . Bu açıktır, derinliğinden daha az süreye sahip tepe noktası aykırı olarak alınmalıdır. Sorun, mümkün olduğunca çok görevi tamamlayan bir zamanlama bulmanızı ister. $v_i$

İlerleme:

Ağaç bir yolla , dinamik programlama yoluyla . $\mathsf{P}$
Ağaç bir grafiğe genelleştirilmişse, içinde olur . $\mathsf{NP}$
3 faktörlü tayin yöntemine inanılan çok basit bir açgözlü algoritmam var. Ben bunu tam olarak kanıtlamadım. Doğru, NP zor sonuçlarıyla daha fazla ilgileniyorum. :-)

Tavsiyen için teşekkürler.

ds.algorithms graph-algorithms np-hardness

— Peng Zhang
kaynak

Tam bir grafikte, görev kolay olurdu değil mi? Sadece basit bir açgözlü algoritma kullanın ...

— Joe

@Joe: Evet. Her kenarın 1 ünite seyahate ihtiyacı olduğundan, "kavşak" arasında bir tercih yoktur. Evet ise, hala bu sorunla ilgileniyor musunuz? belki e-posta ile konuşabiliriz. :-)

— Peng Zhang

Tüm son tarihler aynıysa ve / veya yalnızca tüm görevlerin tamamlanıp tamamlanamayacağını sorarsak ne olur?

— domotorp

@domotorp: Tüm görevleri bir son teslim tarihiyle bitirmek isterse, cevap sadece ve eğer tek tip son teslim tarihi ise. Sadece derinlik ilk ara. Durumda en uygun problem için, Kolay olup olmadığını bilmiyorum. Bu sorunla ilgili olarak, son başvuru tarihleri kardinalitesi sabit olan sonlu bir kümeden değer alıp almayacağını düşünmek gibi birçok varyant vardır. Yorumunuz için çok teşekkür ederim.

d \geq | V |

$d\ge |V|$

d < | V |

$d< |V|$

— Peng Zhang

Ben NP-zor zamanlama hayvanat bahçesi görmek söyleyebilirim , sorununuzu yanlış anladıysam hariç.

— Gopi

Yanıtlar:

Bunun cevabınız olduğundan emin değilim (aşağıya bakın) ama yorumlar için biraz fazla.

Ben senin sorunun gibi bir şey olsa: , nerede: $(P|tree;p_i=1|\Sigma T_i)$

$P$ , aynı homojen işlemcileri,
"ağaç" bir ağaç biçiminde öncelik sınırlaması anlamına gelir,
$p_i=1$ , görevlerin ağırlığının 1'e eşit olduğunu ve
$\Sigma T_i$ gecikme toplamını (yani, son teslim tarihinden sonra biten görev sayısını) en aza indirmeyi ifade eder.

Bu durumda, probleminiz NP-zordur: Öncelik kısıtlamaları olan tek bir makinede toplam gecikmeyi en aza indirmenin bir genellemesi olarak görebilirsiniz . Aslında bu makale, birden fazla doğrusal zincir için, tek bir işlemci üzerinde NP-sert olduğunu belirtmektedir. Kolay dönüşüm, formun ağaçlarını bir kök ve kökten başlayan doğrusal zincirleri almaktır.

Ancak şaşırıyorum çünkü tek bir lineer zincir durumunda Dinamik Programlama kullanacağınızı söylüyorsunuz . Neden DP'ye ihtiyacınız olduğunu anlamıyorum, çünkü bana göre tek bir lineer zincir planlarken öncelik kısıtlamaları nedeniyle çok fazla seçeneğiniz yok: sadece tek bir seçim. Belki de probleminizi yanlış anladım.

— Gopi
kaynak

Benim sorunum sizinkinden farklı görünüyor. Benimki, "köklü bir ağaç, gezici uç maliyet birimi zamanı, son teslim tarihi olan bir göreve sahip her tepe noktası, görevin önceden zamana ihtiyacı yoktur. Kökten başlayarak kaç tane görev tamamlanabilir?". Yani bir öncelik yok, bir işi işlemek için zamana gerek yok. Çok teşekkür ederim.

— Peng Zhang

@PengZhang, Köklü bir ağaçsa, o zaman öncelik var mı? Kenarlardaki (öncelik?) Veya görevlerdeki maliyete gelince, bana aynı şey gibi geliyor. İkisi arasındaki farkı gerçekten görmüyorum. Son olarak, kaç görev bitirilebilir, eğer son teslim tarihinden sonra bitirilecek görev sayısını en aza indirirseniz, tamamlanabilecek görev sayısını en üst düzeye çıkarmakla eşdeğerdir. Belki ne beklediğinizin bir resmini çizebilirsiniz?

— Gopi

İki problem arasındaki açık ilişkiyi görmüyorum. Orijinal problemde, bir sonraki düğümü ziyaret etmenin maliyeti, önceki adımda hangi düğümü ziyaret ettiğine bağlıdır. Öncelik kısıtlamalı çizelgelemede, bir sonraki işin işlenmesi maliyeti, öncelik kısıtlaması karşılandığı sürece önceki işte hangi işin işlendiğine bağlı değildir.

— Yoshio Okamoto

@Gopi: Kenarların maliyeti, düşündüğüm kadarıyla düğümlere "aktarılamıyor". Ağaç bir yolla sınırlıysa (belki de bahsettiğiniz zincir), benim sorunumda aşağıdaki gibi dinamik programlama yapabiliriz. Soldan sağa olarak numaralandırılmış köşeleri . Let konum aralığı maksimum görevleri ifade süre içinde ve vehichle hakkımızı durur . , araç durması dışında aynı şeyi ifade etsin . Sonra den türetilebilir . Çünkü

1, 2, \dots, n

$1,2,\cdots, n$

f (t, l, r)

$f(t,l,r)$

[l, r]

$[l,r]$

t

$t$

l

$l$

g (t, l, r)

$g(t,l,r)$

f (t, l, r)

$f(t,l,r)$

r

$r$

f (t, l, r)

$f(t,l,r)$

{f (\cdot, l + 1, r), g (\cdot, l, r - 1)

$\{f(\cdot,l+1,r), g(\cdot,l,r-1)$

t, l, r

$t,l,r$ polinom, yani dp polinomdur.

— Peng Zhang

@PengZhang, tamam, ne demek istediğini daha iyi anladım. Hala dalların patika olduğu özel ağaçları (dolayısıyla köklü patikalar) düşünerek verdiğim kağıdı kolayca adapte edebileceğine inanıyorum.

— Gopi

Bunun doğru olabilmesi için bazı varsayımlar yapmak zorundayız. Aşağıdaki yorumlara bakın

$t_a$ $t_b$

$|V|$

— Joe
kaynak

f [a, t, t^{'}]

$f[a, t, t']$

a

$a$

[t, t^{'}]

$[t,t']$

a

$a$

nokta (1) nokta (2) kadar bir problem değildir. Fikrimin ilk öngördüğüm gibi çalışması için, bir alt ağaçtan birkaç kez çıkıp tekrar girmemeniz gerekir. En iyi çözümün ağacın her tarafına atlamadığı açık değildir: bir yaprak ve köke yakın bir şey alır ve bir yaprağa ve daha sonra diğer 2'den uzak başka bir yaprağa yürür. tüm düğümleri yürüdüğünüz herhangi bir yolda alacağınız gerçeğinden yararlanmak için. Özellikle herhangi bir çocuk ziyaret edilmişse, ebeveyn zaten ziyaret edilmiştir.

— Joe

: Benim düşünceme göre, nokta (1) gerçekten bir problemdir . (2) noktası için, "Yeniden Girme Yok" kısıtlamasını "Derinlik İlk Arama" kısıtlaması olarak adlandırdım. DFS kısıtı literatürde yaygın olarak kullanılmaktadır. Ve bu kısıtlama altında, ağacımın maksimum derecesi sabit olduğu sürece, problemim gerçekten polinomdur . Bu yüzden sorumun NP-zor olduğunu merak ediyorum. Çok teşekkür ederim.

— Peng Zhang

DFS kısıtlaması ile ilgili olarak, optimal dizinin bu kısıtlamayı ihlal ettiği bir örnek oluşturmak kolaydır. 7 düğümlü tam ve dengeli bir ikili ağaç düşünün. Sol alt ağaçtaki 2 yaprak son tarih 2 ve 12 olsun, sağ alt ağaçtaki 2 yaprak son tarih 8 ve 6 ve iç düğümlerin son teslim tarihleri 100 olsun. 2,6,8 sırayla yaprakları ziyaret ederek tüm düğümleri ziyaret edebilirsiniz. , 12; başka herhangi bir emir en az bir son tarihi ihlal eder.

— mhum

Bu dava için sürekli bir yaklaşım elde etme veya NP-Hard'ı kanıtlama sorunu hala açıktır ve herhangi bir sonuç iyi bir yayın sağlayacaktır. Bazı özel durumlar çözüldü. Diğerleriyle birlikte, örümcekler, sabit yüksek ağaçlar gibi özel durumları çözen bazı kısmi sonuçlara sahibim. Ancak, ağaçlar için genel sorun çözülmemiştir.

— vgta
kaynak