Teorik bilgisayar bilimine gerçek analizde teknik uygulamaları var mı?

Bu tür uygulamalar için çok geniş bir şekilde baktım ve çoğunlukla kısa sürdüm. Sayılabilir (veya sayılamayan) kümelerde topoloji ve benzeri yapıların birçok uygulamasını bulabilirim, ancak nadiren sayılmaz kümeleri bilgisayar bilimcileri tarafından çalışma nesnesi olarak buluyorum ve bu nedenle analizden tekniklere ihtiyaç duyuyorum.

İlgili iki ders:

• Toronto Üniversitesi'nde Ehud Friedgut tarafından kombinatorik ve CS'de analitik yöntemler (2009),
• Kombinasyon ve Bilgisayar Bilimlerinde Analitik Yöntemler , İbrani Üniversitesi'nde Irit Dinur ve Ehud Friedgut (2006).

Ayrıca Ryan O'Donnell'in kitabı için notlarını kontrol edin:

• Boolean Fonksiyonlarının Ryan O'Donnell Tarafından Analizi .

ve sağ üst köşedeki bağlantılar.

Graham, Knuth ve Patashnik'in Beton Matematiği - Bilgisayar Bilimi Vakfı adlı kitabına bakınız. Bölüm 9'da Euler-Maclaurin toplama formülünü açıklarlar . Bu, integral kullanarak sonlu bir toplamı tahmin etmenizi sağlayan bir tekniktir. Aynı bölümde, sayfa 466, harmonik sayısını yaklaşık olarak belirlemek için bu tekniği kullanırlar (bu, TCS'nin çeşitli alanlarında çokça görülür). Bir keresinde kullanmak zorunda kaldım ve farklı denklemler için asimptotik yaklaşım tekniklerini kullanarak bir integrali çözdüm !

Lovasz ve B. Szegedy'nin çalışmalarında geliştirilen yoğun grafik dizilerinin sınırları teorisi vardır. Grafikler üzerindeki bazı özellik testi problemleri için sonuçları vardır. Bkz. Http://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdf . Temel olarak fikir, grafikler üzerinde uygun bir metrik ve grafik dizilerinin sınırlarını alma fikrini tanımlamaları ve daha sonra bir grafiği özelliğe düzenleme mesafesiyle eşleştiren işlev, tanımlanmış grafiklerde metrik uzay.

Ve elbette Flajolet ve Sedgewick'in magnum opus'u tamamen algoritmaların analizi de dahil olmak üzere kombinatorik yapıların asimptotik analizi için analitik yöntemler kullanmaya adanmıştır. Bu çoğunlukla karmaşık analize dayanan işlev hileleri üretiyor

Shir'in bahsettiği gibi Jensen'in Eşitsizliği her zaman ortaya çıkıyor. Özellikle kombinatoryal problemlerde sınırları kanıtlamak için. Örneğin, aşağıdaki sorunu göz önünde bulundurun:

Bir aile verilen alt kümelerinin V = { 1 , ... , n } , onun kesişme grafiktir G = ( V , E ) ile tanımlanır { i , j } ∈ E , ancak ve ancak, eğer S ı ∩ S j ≠ $S_1, \ldots, S_n$$V = \{1, \ldots, n\}$$G = (V, E)$$\{i, j\} \in E$$S_i \cap S_j \neq \emptyset$ . Ortalama ayarlanan boyutun ve çiftli kavşakların ortalama boyutunun en fazla k olduğu varsayılmıştır. Göstermektedir$r$ .$|E| \geq \frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2}$

Kanıt:

Bize çiftleri sayalım bu şekilde X ∈ V ve X ∈ S i ∩ S j . Bize ilk düzeltmeyi edelim ( S i , S j ) , en az olduğunu görüyoruz k böyle seçimler. ( S i , S j ) ' nin tüm değerlerini de alarak , üst sınır k ⋅ ($(x, (S_i, S_j))$$x \in V$$x \in S_i \cap S_j$$(S_i, S_j)$$k$$(S_i, S_j)$. Şimdi x'i düzeltiyoruz. Her görmek kolaydırxsahip ( d($k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot |E|$$x$ seçim yolları(Si,S$\binom{d(x)}{2}$ . Jensen eşitsizliğine göre:$(S_i, S_j)$

.$n \cdot \binom{r}{2} = n \cdot \binom{\frac{1}{n}\sum_x d(x)}{2} \leq \sum_x \binom{d(x)}{2} \leq k \cdot |E|$

Sonunda terimleri birleştirmek için .$\frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2} \leq |E|$

Bu, CS'den biraz daha "mathy" olsa da, dışbükey işlevler için bir aracın nasıl kullanılabileceğini göstermeye hizmet eder - özellikle kombinatoryal optimizasyonda.

Andrej Bauer ve Paul Taylor'un Dedekind Reals ile Verimli Hesaplamaya ne dersiniz ?

Ayrık matematikteki bir probleme yaklaşırken çok yaygın ve sıklıkla kullanışlı bir teknik, onu sürekli bir etki alanına yerleştirmektir, çünkü bu, daha zengin bir matematik aracı seçimine izin verir. Yani, cevabımı düzeltmek: gerçek analizin doğal olarak görüneceği alanlar dışında (grafikler, sinyal işleme ve fiziksel dünyayı taklit eden veya etkileşime giren diğer alanlar), temelde her yerde ve olmadığı yerlerde ortaya çıkar - benim sanırım gelecekte olacak.

Bazı hızlı örnekler:

1. Kodları düzeltme hatası: Reed solomon kodları polinom kullanır. Kodlardaki bazı sınırlar, kodun gösterge işlevinin ayrı küplerden gerçeklere bir işlev olarak görüntülenmesini, böylece Fourier dönüşümü ve diğer tekniklerin uygulanmasını içerir.
2. Olasılıksal yöntem - ölçü konsantrasyon teoremleri (analitik bir araç) rasgele grafiklerin çeşitli özelliklerini göstermek için kullanılır (örneğin kromatik sayı). Alon ve Spencer'ın kitabına bakınız.

3. $v$$e$$\frac {1}{61} \cdot \frac {e^3} {v^2}$

4. $k-1$$k$$k-1$

Doğru hatırlarsam Noga Alon'un kolyeleri ayırma teoremi sorunun sürekli versiyonunu kullanır.

Görmek: Http://www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/nocon.pdf

Buradaki wiki sayfasında da bir söz var: http://en.wikipedia.org/wiki/Hobby%E2%80%93Rice_theorem

Kaynak sınırlı ölçüm alanı, Lebesgue ölçümünü karmaşıklık sınıflarına uygular. Buradaki fikir, bu kümelerin göreli "boyutlarından" bahsederek karmaşıklık sınıfları arasında ayrımlar elde etmektir.

Güzel bir kağıt var, Kuantum Tek Yönlü İletişim Radon dönüşümü, küresel harmonikler ve hiperkonksiyonel gibi TCS'de nadir görülen gerçek analizden oldukça fazla sayıda teknik kullanan Boaz Klartag & Oded Regev'in Klasik İletişimden Katlanarak Daha Güçlüdür (ayrık olmayan) birim alanda eşitsizlikler

Monoton Gerçek Devrelerin Boyutu İçin Üstel Bir Alt Sınır (1997) Haken, Cook

Düzenli / bağlamsız diller ve fonksiyon teorisi ((biçimsel) kuvvet serileri) arasındaki bağlantıları her zaman oldukça heyecan verici buldum: Fransızlar bu yüzden bu dil sınıflarına “rasyonel” ve “cebirsel” diyorlar. Bu aynı zamanda fraktal geometriye olan bağlantıları gösterir. Benzer bir şekilde, örneğin, sonlu otomata, standart metrik topoloji ile donatıldığında güzel topolojik özelliklere sahip sonsuz kelimelerde dilleri tanımlayabilir.

Başka bir bağlantı, Fourier dönüşümlerinden bilinenlere benzer birçok algoritmayı hızlandırmaya izin veren, yakın zamanda geliştirilen "küme kıvrımları" teorisi olabilir. Bunların en azından "ilham verici benzerlikler" olduğunu varsayıyorum.