Hiçbir algoritma için zaman sınırlaması verebileceğimiz karar verilebilir problemler var mı?

Sorunu çözen hiçbir algoritma için, giriş örneğinin n uzunluğunun bir fonksiyonu olarak bağlı bir zaman verebileceğimiz gibi karar verilebilir problemler var mı?

Bu soruya geldim çünkü aşağıdakileri düşünüyordum:

Yinelenen, ancak numaralandırılamayan bir sorunumuz olduğunu varsayın. Ayrıca, sorunun "evet" ifadesi olduğunu varsayalım. O zaman sorunun "evet" -enlerini tanımlayan hiçbir algoritma için, I'in büyüklüğü n açısından bir zaman sınırı verebiliriz. Çünkü böyle bir zaman sınırlaması verebilirsek, basitçe yapabileceğimiz gibi, soruna karar verebiliriz. bağlı olan zaman aşıldığında ben "hayır" bir sonuç olduğu sonucuna varın.

Özyinelemeli olarak numaralandırılabilir, kararsız problemler için bir süre veremediğimiz için ("evet" durumları için hesaplama süresi için), bir zaman sınırı veremeyeceğimiz karar verilebilir problemler olup olmadığını merak ediyordum.

Her algoritma için girişler bir sınıf sonlandırıldığında bu , biz tanımlamak kendi çalışma süreleri fonksiyonunu: uzunluğu girişlerinin sınıf ve zaman algoritmasıdır sonlanırlar gerektirir . Tabii ki, bu tanım algoritma ile ilgili olduğu için tatmin edici değildir, ancak böyle bir fonksiyonun varlığını gösterir. Geriye kalan soru, özlü bir temsil olup olmadığıdır (ve bunun istediğini olduğuna inanıyorum).I n f ( n ) = max i ∈ I n ( n ) t i m e ( A ( i ) ) $A$$\mathsf{In}$

Kısa bir tanım olarak basit cebirsel terimleri (herhangi bir tür özyineleme olmadan) kullanırsak, cevabın hayır olduğunu düşünüyorum: Karar verilebilecek, ancak karmaşıklığı temelsiz olan problemler var. Yani, formunun , n boyutu problemi için bir algoritmanın yürütme süresini sınırlayan bir yığını yoktur .$2^{2^{2^{2^{\dots^n}}}}$

Umarım sorunuzu doğru şekilde anladım.

Bu, sorunuzu Marcus'unkinden biraz farklı bir şekilde ele alıyor, ancak bu soruyu nasıl düşündüğünüze dair açıklamanız ışığında, aradığınız şeye daha yakın olabilir.

Bazen bir problemin algoritmasını sergilemeden bir sorunun karar verilebilir olduğunu kanıtlayabilir. Bu tür şeylerin en ünlü örneği, Robertson ve Seymour'un grafik küçükler üzerindeki çalışmasıdır; bu, herhangi bir kalıtsal grafik özelliğinin, yasaklı küçüklerin uygun bir sonlu listesinin varlığını kontrol ederek polinom zamanında karar verilebileceğini gösterir. Kanıtları sadece yasaklı küçüklerin sınırlı bir listesinin var olduğunu gösterir, ancak listeyi bulmak için bir reçete sağlamaz .

Bölgede uzman değilim, bu nedenle, algoritma gösteremediğimiz kalıtsal bir grafik özelliğinin belirli bir örneğini elimden bilmiyorum, çünkü yasaklı küçüklerin listesini bilmiyoruz ve başka bir yol bilmiyoruz sorunu çözüyoruz, ancak bu tür örneklerin var olduğundan şüpheleniyorum. (Varsa bir örnek bulmak için çalışma süresini sınırlayabiliriz, çünkü dünyada en fazla 8 milyar insan olduğunu biliyoruz ve en kötü durumda hepsine sorabiliriz!)

Bir başka sözler: Biz bir minör kontrol yapılabilir olduğunu bildiğimiz için zaman, sen Robertson-Seymour algoritması tarafından döşenmiş tüm durumlarda, biz iddia olabilir mi bir "sınır" var çalışma zamanında. Ancak, eğer sabit üzerinde bir bağımız yoksa, bunun bir tür hile olduğunu iddia ederim.O ( n 3$O(n^3)$$O(n^3)$

Sadece farklı bir bakış açısı eklemek için, her sorunun "içsel" bir karmaşıklığa sahip olmadığını hatırlamama izin verin, bu muhtemelen Blum'un hızlanma teoreminin en ilginç ve bir şekilde ihmal edilen sonucudur.

Temel olarak teorem, istenen bir hızlanma g'yi sabitlediğinde, her zaman bir hesaplama problemi P bulabileceğinizi belirtir, böylece herhangi bir program çözme P için hala P'yi çözen ve bir öncekinden daha hızlı çalıştıran başka bir program vardır.

Bu nedenle, bu tür problemler için zaman kısıtlaması veremezsiniz. Şaşırtıcı ve oldukça şaşırtıcı bir sonuç. Elbette P'nin çok büyük bir karmaşıklığı vardır.

Sorunuzun teorik yönü Markus tarafından halledilir. Daha pratik olarak, sorunuzu anlamanın ilginç bir yolu şudur: Herhangi bir zaman sınırını bilmediğimiz karar verilebilir problemler var mı?

Yanıt evettir: örneğin, sorunun YES örnekleri için bir yarı algoritmaya ve NO örnekleri için bir yarı algoritmaya sahip olabilirsiniz. Bu, probleminizin karar verilebilirliğini sağlar, ancak zamana bağlı değildir.

İşte genel bir örnek: bazı cebirdeki tüm gerçek kimlikleri kanıtlamanızı sağlayan aksiyomatik bir sisteminiz olduğunu varsayın. Dahası, yanlış kimliklerin daima sonlu bir yapıya tanıklık ettiğini biliyorsunuz.

Sonra bir kimlik karar vermek aşağıdaki algoritmayı var size bir kanıt bulunca paralel deliller ve sonlu yapıları ve durma numaralandırmak: doğrudur veya tanık bir yapı yanlıştır. Doğru bir algoritma sağlar, ancak ile ilgili provaların ve sonlu yapıların boyutunu sınırlayamazsanız, karmaşıklığa bağlı değildir .ben ben $I$$I$$I$$I$

Bunun bir örneği afin lineer mantıktır (LLW): şimdi Tower-complete olduğu bilinmektedir [1], ancak bir süredir sınır bilinmemiştir ve diğer teknikler arasında sonlu model özelliği kullanılarak yalnızca karar verilebilirlik gösterilmiştir [2] .

Referanslar:

[1] VASS, MELL ve uzantıların dallanması için temel olmayan karmaşıklıklar. Lazic ve Sylvain Schmitz Karşılaştırması. CSL-LICS 2014

[2] Doğrusal mantığın çeşitli parçaları için sonlu model özelliği. Yves Lafont, J. Symb. Mantık. 1997

Diğerlerinin de belirttiği gibi, soru önemsiz bir cevabı önleyecek şekilde ifade edilmez, ancak TCS ve sayı teorisinde ilgili / benzer bazı kavramlar vardır.

1) Uzayda ve zaman hiyerarşisinde teoremlerde "zamanla inşa edilebilir" ve "mekanla inşa edilebilir" fonksiyonlar kavramı gereklidir. zaman yapılamaz ve mekan yapılamaz fonksiyonlar vardır ve Blum teoremlerinde "boşluk, hızlanma" teoremleri gibi olağandışı özelliklere yol açarlar. çoğu (tümü?) std karmaşıklık sınıfları uzay ve zamanla yapılandırılabilir fonksiyonlar olarak tanımlanır.

2) ackerman işlevi toplam özyinelemeli, ancak ilkel özyinelemeli değildir ve bunun zamana bağlı olması için etkileri vardır. ilkel özyinelemeli fonksiyonlar bir anlamda "temel" matematiksel işlemleri temsil eder.

3) peano aritmetiğinde hesaplanamayan sayı teorisi dizileri hakkında, goodstein sekansı veya paris-harrington thms gibi bir anlamda hesaplanamayan zaman sınırları oluşturma olarak yorumlanabilecek thms vardır