İçinde kısa ve öz Sorunları

Grafiklerin Kısa Temsil gösterimi üzerine bir araştırma Galperin ve Wigderson tarafından 1983 tarihli bir makalede başlamıştır, burada bir grafikte bir üçgen bulmak gibi birçok basit problem için, içindeki kısaltılmış versiyonun . Papadimitriou ve Yanakkakis, bu araştırma hattını daha da ileriye götürdü ve bir problem için olan / olan bir problem için , sırasıyla Succinct'ın, yani Succinct , ve . Eğer (ayrıca göstermektedir olan$\mathsf{NP}$$\Pi$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\Pi$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{EXP}$$\Pi$$\mathsf{NL}$-complete, sonra Succinct ise .$\Pi$$\mathsf{PSPACE}$

Şimdi sorum şu, bilinen, özlü versiyonunun olduğu bilinen bir problem var mı? Yukarıda kaçırabileceğim ilgili diğer sonuçları (varsa hem olumlu hem de imkansız sonuçları) bilmek isterim. (Bir google aramayla ilgi çekici bir şey bulamadım, çünkü kısa, temsil, problemler, grafikler gibi arama kelimeleri hemen hemen her karmaşıklık sonucuna yol açıyor! :))$\Pi$$\mathsf{P}$

Özlü versiyonu ilginç özelliklere sahip ilginç bir problem. Devre Boyutu- problem olarak tanımlayın : Boolean fonksiyonu 2 n- bitlik bir dizge olarak verildiğinde , bu fonksiyonun en fazla 2 n / 2 büyüklüğünde bir devresi var mı? Bu sorunun N P olduğuna dikkat edin .$2^{n/2}$$2^n$$2^{n/2}$$NP$

Succinct Circuit Size - tanımlamanın bir yolu şudur : sabit bir k için , bir n giriş, n k boyutundaki bir devre C verildiğinde , doğruluk tablosunun bir Devre Boyutu örneği olup olmadığını bilmek istiyoruz - 2 n / 2 . Ancak bu önemsiz bir sorundur: gerçek devreler olan tüm girdiler evet-örneklerdir. Yani bu sorun olduğunu P .$2^{n/2}$$k$$n$$n^k$$C$$2^{n/2}$$P$

Daha genel bir şekilde ve öz-devre-boyutu-tanımlamak için olmayabilir: bir rasgele devre verilmiştir Cı ve doğruluk tablosu Devre boyutu-örneğini kodlayan olmadığını bilmek isteyen 2 N / 2 . Fakat n , C'ye giriş sayısı ise , m , C'nin boyutu ve m ≤ 2 n / 2 ise , otomatik olarak kabul edebiliriz: girişin kendisi, dil için bir tanıktır. Aksi takdirde, biz$2^{n/2}$$C$$2^{n/2}$$n$$C$$m$$C$$m \leq 2^{n/2}$ . Bu durumda, giriş uzunluğu$m \geq 2^{n/2}$$m$zaten çok büyük, bu yüzden mümkün olan ödevini m O ( 1 ) zamanda deneyebiliriz , fonksiyonun doğruluk tablosunu öğrenebiliriz ve şimdi yine orijinal N P problemine geri dönüyoruz . Yani bu bir sorundur N P özlü versiyonu da olan N P .$2^n$$m^{O(1)}$$NP$$NP$$NP$

Bu sorunun N P- zor olmadığına inanılıyor ; makaleye Kabanets ve Cai tarafından bakın (http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html)$NP$

Belirli bir özlü temsil ile temsil edilen grafiğin en az bir kenar içerip içermediğine karar vermek bile, Devre SAT'a eşdeğer ve bu nedenle NP-tamam olup olmadığına karar verildiğinde, bir özlü temsilin herhangi bir ilginç özelliğinin, NP-sert altında olması gerektiğini iddia etmek caziptir. “ilginç” in uygun bir tanımı. Bu iddia, karmaşıklık teorik bir analog olacaktır. Rice teoremi . Ne yazık ki, Rice teoreminin en genel karmaşıklık-teorik analoğunu bulmak açık bir sorundur , ancak bu karmaşıklık-teorik analogların bazı formlarını veren sonuçlar olmasına rağmen.

Bunun bir cevap olması demek istemedim ama çok fazla yorum gerektiriyor. Umarım faydalıdır.

Tsuyoshi'nin işaret ettiği gibi, tüm "önemsiz" özelliklerin zor olduğunu varsaymak caziptir (örneğin NP zor). Ancak, bunu göstermek için önemsiz olmayan tanımlamanız gerekir. Rice teoreminde, önemsiz özelliklerin tümü hesaplanabilir numaralandırılabilir tüm dilleri içeren özellik ve hesaplanabilir numaralandırılabilir dil içermeyen özellik dışındaki tüm özelliklerdir. Önemsiz olmayanın doğru tanımının özlü problemler için ne olduğu daha az açıktır. Kesinlikle tüm karakter dizilerini içeren veya hiç karakter dizisi olmayan özellikler P cinsindendir. Ancak P karakterlerinde de diğerleri vardır. Örneğin, mülkiyet orta bit 0'dır Ya maçlar dizeleri Π tüm dizeleri içeren 2 n bit şekilde her 2 n $\Pi$$\Pi$$2^n$$2^n/x$-th bit 1, burada $x = n^{O(1)}$ . Peki, bu tip özellikleri kapsayacak şekilde "önemsiz" i nasıl tanımlarız?

Bir fikir o bakmak için "simetrik" şunlardır: bir dize eğer lar içindedir tt ardından bit herhangi permütasyon s de olduğu $\Pi$$s$$\Pi$$s$$\Pi$ . Bu özellikler bir dizgede sadece 1 bit sayısına bağlıdır. Tsuyoshi'nin bağladığı soruya bir cevap olarak, Ryan Williams, bu yazının tüm bu sorunların UP-zor olduğunu gösteren bir yazı veriyor .

"Önemsiz olmayan mülk" nasıl tanımlanır? işlevine bir boole işlev ailesi olarak bakabiliriz (her dize uzunluğu için özelliğin gösterge işlevleri). Bana göre, önemsiz olmayan özelliklerin, ilgili boolean işlev ailesinin önemsiz olmayan bir karmaşıklığa sahip olduğu özelliklerdir. Örneğin, ilişkili boole işlev ailesi doğrusal karar ağacı karmaşıklığına sahip olan özelliklerin zor olduğunu gösterebilir miyiz?$\Pi$