Determinant modulo m

Katsayılı bir tamsayıdır matrisin bir belirleyici hesaplanması için bilinen etkili algoritmalar ne kalıntıları halka modulo m . M sayısı asal değil kompozit olabilir (bu nedenle hesaplamalar bir alan değil halka olarak gerçekleştirilir).$\mathbb{Z}_m$$m$$m$

Bildiğim kadarıyla (aşağıda okuyun), çoğu algoritma Gauss eliminasyonunun modifikasyonlarıdır. Soru, bu prosedürlerin hesaplama etkinliği ile ilgilidir.

Farklı bir yaklaşım olduğu takdirde, bunu merak ediyorum.

Şimdiden teşekkürler.

Güncelleme:

Bu sorunun kaynağını açıklayayım. Varsayalım, bir asal sayıdır. Yani Z m bir alandır. Ve bu durumda , m'den küçük sayıları kullanarak tüm hesaplamaları yapabiliriz , bu yüzden sayılardaki tüm işlemlerde hoş bir üst sınırımız var: toplama, çarpma ve ters çevirme --- Gauss eliminasyonunu çalıştırmak için gerekli tüm işlemler.$m$$\mathbb{Z}_m$$m$

Öte yandan biz durumda bazı numaralar için ters çevirmeyi gerçekleştiremez değil asal. Bu yüzden determinant hesaplamak için bazı hilelere ihtiyacımız var.$m$

Ve şimdi işi yapmak için bilinen hilelerin neler olduğunu ve bu tür hilelerin kitaplarda bulunup bulunamayacağını merak ediyorum.

çarpanlarına ayırmayı biliyorsanız, her bir p e i i modülünü ayrı ayrı hesaplayabilir ve daha sonra sonuçları Çin kalanını kullanarak birleştirebilirsiniz. Eğer E i = 1 , daha sonra işlem modülo p e i i , bu bir alandır, çünkü kolaydır. Daha büyük e i için Hensel kaldırmayı kullanabilirsiniz. $m = p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}$$p_i^{e_i}$$e_i = 1$$p_i^{e_i}$$e_i$

Mahajan ve Vinay tarafından değişmeli halkalar üzerinde çalışan bir kombinatoryal algoritma vardır: http://cjtcs.cs.uchicago.edu/articles/1997/5/contents.html

Bu problemi çözmek için , en kötü durum karmaşıklığı tamsayı modulo m üzerinde matris çarpma maliyeti ile üst sınırda olan Smith normal formlarına dayanan hızlı bir deterministik algoritma vardır . Herhangi bir A matrisi için algoritma, det ( A ) 'nın kolayca hesaplanabildiği Smith normal formunu verir .$m$$A$$\text{det}(A)$

Daha somut olarak, tanımlama iki şekilde , n x n alınan katsayılı matrisleri Z m kullanılarak çarpılabilir O ( n, ω ) temel aritmetik işlemler Z m (tamsayı Ayrıca, çarpma üs, vb). Sonra,$\omega$$n \times n$$\mathbb{Z}_m$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

Bir matris verilen , belirleyici bir algoritma bu değerlerini hesaplar vardır det ( A ) kullanarak O ( n, ω ) basit aritmetik işlemler üzerinde Z m [1] .$A\in \mathbb{Z}_m^{n \times n}$$\text{det}(A)$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

1996'da yazıldığında, asimptotik olarak daha hızlı bir alternatif yoktu (makale, aynı sınırda olan algoritmaların önceden varlığından bahsediyor, ancak hangilerinin ya da olasılık olup olmadığını bilmiyorum).

Güncelleme (2013 17 Temmuz): Bu algoritmanın güzel bir bonus özelliği çalışır olmasıdır polinom zaman keyfi için kompozit bir prime-nuber bilmeden çarpanlara ait m ! Bu iyi hiçbir (bir kuantum bilgisayar olsaydı elbette, o zaman geçerli olabilir faktoring için verimli (klasik) algoritmaları orada bilinmektedir beri Shor'un algoritması ). Eğer varsa yapmak çarpanlara sahip sonra Markus önerdi algoritma uygulamak için bir yol daha basit görünüyor.$m$$m$

Notlar: Standart tamsayı aritmetiği kullanıyorsanız "temel aritmetik işlemlerin" karmaşıklığı , ancak daha hızlı tekniklerle O ( M ( log m ) log log m ) elde edebilirsiniz. M ( t ) , iki t- bit tamsayısının çarpımının maliyetini sınırlar . Şu anki rekor w olduğunu 2,3727 .$O(\log^2 m)$$O(M(\log m)\log \log m)$$M(t)$$t$$\omega$