Kırmızı ve siyah ağaç subrange

Bir kitaplıktaki bir hatayı düzeltmeye çalışırken, kırmızı ve siyah ağaçlarda sübvansiyon bulmak için yazılar aradım. Değişmez veri yapıları için silme algoritmalarında kullanılan normal ekleme işlemine benzer fermuarlar ve benzer bir şey kullanarak bir çözüm düşünüyorum , ancak hala bulamadığım daha iyi bir yaklaşım olup olmadığını ve hatta minimum karmaşıklık sınırını merak ediyorum böyle bir operasyonda?

Açıkça söylemek gerekirse, kırmızı ve siyah bir ağaç ve iki sınır verildiğinde, bu sınırlar içinde yer alan ilk ağacın tüm unsurları ile yeni bir kırmızı ve siyah ağaç üretecek bir algoritmadan bahsediyorum.

Tabii ki, karmaşıklık için bir üst sınır, bir ağacın içinde gezinmenin ve ögeler ekleyerek diğerini inşa etmenin karmaşıklığı olacaktır.

Bu cevap, bazı yorumlarımı soruya birleştiriyor ve genişletiyor.

Kırmızı-siyah ağaçlardaki subrange işlemi en kötü O (log n) zamanında gerçekleştirilebilir; burada n, orijinal ağaçtaki eleman sayısıdır. Ortaya çıkan ağaç bazı düğümleri orijinal ağaçla paylaşacağından, bu yaklaşım yalnızca ağaçlar değiştirilemezse (veya ağaçlar değiştirilebilir ancak orijinal ağaca artık ihtiyaç duyulmuyorsa) uygundur.

İlk olarak alt aralık işleminin iki bölünmüş işlem tarafından uygulanabileceğine dikkat edin. Burada bölme işlemi kırmızı-siyah bir ağaç T ve bir x anahtarını alır ve iki L ve R ağacı üretir, öyle ki L, x'den küçük T elemanlarını ve R, X'ten büyük T elemanlarını içerir. Bu nedenle, şimdi amacımız bölünmüş işlemi en kötü O (log n) zamanında kırmızı-siyah ağaçlara uygulamaktır.

O (log n) zamanında kırmızı-siyah ağaçlarda bölünme işlemini nasıl gerçekleştiririz? İyi bilinen bir yöntem olduğu ortaya çıktı. (Bilmiyordum, ama veri yapılarının uzmanı değilim.) İki L ve R ağacını alan birleştirme işlemini düşünün , böylece L'deki her değer R'deki her değerden daha az olacak ve tüm Birleştirme işlemi en kötü zaman O (| r _L Rr _R | +1) içinde uygulanabilir, burada r _L ve r _Rsırasıyla L ve R dereceleridir (yani, kökten her bir yaprağa giden yolda siyah düğümlerin sayısı). Bölme işlemi, birleştirme işlemi O (log n) süreleri kullanılarak gerçekleştirilebilir ve toplam en kötü durum süresi hala bir teleskop toplamı dikkate alınarak O (log n) 'dir.

Tarjan'ın bir kitabının 4.1 ve 4.2 bölümleri [Tar83], kırmızı-siyah ağaçlarda birleştirme ve ayrık işlemlerin en kötü zamanda O nasıl uygulanacağını açıklar (log n). Bu uygulamalar orijinal ağaçları yok eder, ancak düğümleri kopyalamak yerine kopyalayarak onları değiştirilemez, işlevsel uygulamalara dönüştürmek kolaydır.

Bir yan not olarak, Objektif Caml'ın Set ve Harita modülleri , (değiştirilemez) dengeli ikili arama ağaçlarındaki bölünmüş işlemi ve diğer standart işlemleri sağlar. Kırmızı-siyah ağaçlar kullanmasalar da (sol yükseklik ve sağ yüksekliğin en fazla 2 farklı olduğu kısıtlamasıyla dengeli ikili arama ağaçları kullanırlar), uygulamalarına bakmak da yararlı olabilir. İşte Set modülünün uygulanması .

Referanslar

[Tar83] Robert Endre Tarjan. Veri Yapıları ve Ağ Algoritmaları . CBMS-NSF Uygulamalı Matematik Bölgesel Konferans Serisi Cilt 44 , SIAM, 1983.

Çözüm kırmızı-siyah ağaçlar kullanmak değildir. Yayvan ağaçlarda ve AVL ağaçlarında bölme ve birleştirme kodu çok basittir. Sizi, splay ağaçları ve bunu destekleyen AVL ağaçları için java kodlu aşağıdaki URL'lere yönlendiriyorum. Aşağıdaki URL'ye gidin ve Set.java (avl ağaçları) ve SplayTree.java'ya (splay ağaçları) göz atın.

ftp://ftp.cs.cmu.edu/usr/ftp/usr/sleator/splaying/

--- Danny Sleator

(Bu bir yorum olmak içindir, ancak yorum bırakmak için çok yeniyim.)

Ben sadece yeni bir ağaç olarak subrange ve başka bir subrange olmadan giriş ağacı döndüren "eksizyon" operasyonu ilginizi çekebilir unutmayın. Bilinen yöntem seviye bağlantılarına dayandığından, ağacın altında temsili üzerinde kontrol sahibi olmanız gerekir. Eksizyon , amortismana tabi tutulmuş olsa da , daha küçük ağacın büyüklüğüne göre logaritmik olarak çalışır ("itfa edilmiş" iirc'dir, çünkü artık kağıda erişimim yok)

K. Hoffman, K. Mehlhorn, P. Rosenstiehl ve RE Tarjan, Seviye bağlantılı arama ağaçlarını kullanarak Ürdün dizilerini lineer zamanda sıralama, Bilgi ve Kontrol, 68 (1986), 170-184

PS: Yukarıdaki alıntı Seidel'in tartışma yazılarından geldi. Davranışlar eksizyonu da destekler.

Ki sahip olduğu Kırmızı-siyah ağacında (mukayese) elemanları ve çıkarmak istediğiniz ait elemanları bir kırmızı-siyah ağaca.m [ a , b $n$$m$$[a,b]$

1. Zaman içinde kökünden İniş en küçük elemana (aka halefi).≥ a $O(\lg n)$$\ge a$$a$
2. Oradan istenen elemanlarla zamanında bir dizi oluşturan sıralı bir geçişi başlatın .$O(m)$
3. $O(m)$

$O(m+\lg n)$$O(n+m\lg m)$

$o(m)$$\Omega(\lg m)$$k$$\lg m$

Ayrıntıları çözmedim, bu yüzden ekstra defter tutmanın çalışma süresini nasıl etkilediğinden emin değilim.

$O(1)$$\Omega(\lg m)$