Transandantal sayıların karar verilebilirliği

Cevabı muhtemelen iyi bilinen bir sorum var, ama biraz arama yaptıktan sonra anlamlı bir şey bulamıyorum, bu yüzden biraz yardım için minnettar olurum.

Sorum şu ki, bir sayının aşkın olup olmadığına karar vermek kararsızdır.

Muhtemelen, giriş olarak kabul edilir, örneğin sayının i ^ bitini döndüren bir program. Herhangi bir işaretçi için şimdiden teşekkürler.

computability computable-analysis

— ipsofacto
kaynak

Gerçekler, belirli bir biti hesaplayan programlar veya rasyonel yaklaşımları ya da benzer herhangi bir tür programı hesaplayan programlar tarafından temsil ediliyorsa, tek karar verilebilir gerçekler kümesi önemsiz olanlardır (yani ya tüm hesaplanabilir gerçekleri içeren ya da hesaplanabilir gerçekleri içermeyenler) , Rice'ın teoremi ile.

— Emil Jeřábek

Bu ima nasıl gösteriliyor?

$\:$

Yanıtlar:

Kristoffer'ın çözümü, gerçeklerin temsil edildiğini varsayarak, aslında Cauchy olan gerçeklerin dizilerinin sınırlarını hesaplayabileceğimizi göstermek için kullanılabilir. Bir sıralamanın $(a_n)_n$ hesaplanabilir bir harita varsa, Cauchy $f$ öyle ki, herhangi biri verildiğinde $k$ sahibiz $|a_{m} - a_{n}| < 2^{-k}$ hepsi için $m, n \geq f(k)$ . Gerçeklerin standart gösterimleri, örneğin, bir gerçekin, keyfi olarak iyi bir rasyonel yaklaşımı hesaplayan bir makine tarafından temsil edildiği gibidir. (Rakamları hesaplama açısından da konuşabiliriz, ancak sonra negatif rakamlara izin vermeliyiz. Bu, gerçeklerin hesaplanabilirlik teorisinde iyi bilinen bir konudur.)

Teorem: varsayalım $S \subseteq \mathbb{R}$ hesaplanabilir bir dizi olacak şekilde bir altkümedir $(a_n)_n$ Tamamen Cauchy ve sınırı $x = \lim_n a_n$ dışında . O zaman "gerçek bir sayısı bir unsuru " sorusu kararlaştırılamaz. $S$ $x$ $S$

Kanıt. karar verilebilir olduğunu varsayalım . Herhangi Turing makinası Verilen , diziyi dikkate olarak tanımlanan o kontrol etmek kolaydır computably Cauchy olup, bu nedenle sınırına hesaplayabilir . Şimdi iff durur, böylece Durma Problemini çözebiliriz. QED. $S$ $T$ $b_n$

b_{n} = {\begin{cases} a_{n} & if T has not halted in the first n steps, \\ a_{m} & if T has halted in step m and m \leq n . \end{cases}

$b_n = \begin{cases} a_n & \text{if $T$ has not halted in the first $n$ steps,}\\ a_m & \text{if $T$ has halted in step $m$ and $m \leq n$.} \end{cases}$

b_{n}

$b_n$

y = lim_{n} b_{n}

$y = \lim_n b_n$

y \in S

$y \in S$

T

$T$

Biz dizi dışında olduğunu varsayalım sağlayan, çifte teoremi yoktur ama onun sınırı içindedir . $S$ $S$

Bu koşulları sağlayan kümelerine örnekler : açık aralık, kapalı aralık, negatif sayılar, singleton , rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar, transkedental sayılar, cebirsel sayılar vb. $S$ $\lbrace 0 \rbrace$

Teoremin koşullarını karşılamayan bir küme, hesaplanamayan bir sayı tarafından çevrilen rasyonel sayıların içindeki . Alıştırma: karar verilebilir mi? $S = \lbrace q + \alpha \mid q \in \mathbb{Q}\rbrace$ $\alpha$ $S$

— Andrej Bauer
kaynak

Cevabın için teşekkürler. Sadece bir açıklama, teorem, set S'nin S dışında en az bir sınır noktasına sahip olması durumunda, x öğesinin S'de kararlaştırılamaz olup olmadığına karar verdiğini söylüyor mu? Sonra, örneklerdeki kapalı aralık hakkında biraz kafam karıştı.

— ipsofacto

Kapalı aralık, bir dizi dışında aldığı ikili teoremi tarafından takip sınırı içindedir .

S

$S$

S

$S$

— Andrej Bauer

Onun için ne anlama geliyor olmak "dışında (" Dış karşıt olarak computably " ") ?

x

$x$

S

$S$

S

$S\hspace{.01 in}$

$\:$

$\;\;$

Bu bir yazım hatasıydı. Fark ettiğin için teşekkürler. Aksi takdirde, " , dışında hesaplanır " ifadesi , " her her için pozitif bir rasyonel hesaplayabiliriz, böylece ", yani, " " ifadesi "gerçekleştirildi. Eğer Markov prensipte inanıyorsanız, o zaman sadece o bilerek böyle bir harita tekrar oluşturabilir değil , yani bu durumda "dış arasında hiçbir fark yoktur ve 'computably dışında .'

x

$x$

S

$S$

y \in S

$y \in S$

q

$q$

d (x, y) > q

$d(x,y) > q$

\forall y \in S . \exists q \in Q . 0 < q < d (x, y)

$\forall y \in S . \exists q \in \mathbb{Q} . 0 < q < d(x,y)$

x

$x$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Andrej Bauer

Bir Turing makinesi verildiğinde , bir sayıyı temsil eden bir Turing makinesi tanımlayın : Girişte boş girişte adımları için çalıştırır . Eğer durduruldu çıkış . Aksi taktirde çıkış th biraz . $M$ $M'$ $i$ $M$ $i$ $M$ $0$ $i$ $\pi$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
kaynak

Aşkınlar grubu açık değil özellikle, yoğun ve codense olan ( . Bu nedenle undecidable. $\mathbf R$ $\mathbf R$

— David Harris
kaynak

Hesaplanabilir reel sayılar kümesinin açık değil (özellikle, bunun, yoğun ve codense içinde ), ama Karar verilebilen bir.

R

$\mathbf{R}$

R

$\mathbf{R}$

$\:$

Ricky, bu doğru değil. Gerçek bir sayı için bir kehanet verildiğinde, hesaplanabilir olup olmadığını belirleyemezsiniz.

— David Harris

Verdiğim set her zaman "Evet" yanıtı veren algoritma ile karar verilebilir. İkinci cümleniz verdiğim setin iki tür karar verilemez olduğunu gösteriyor.

$\:$

$\;\;$

@Ricky Demer: Hesaplanabilir gerçek sayılar kümesi iki anlamda kararsızdır: (1) keyfi bir dizin verildiğinde, hesaplanabilir bir gerçek hesaplayan bir Turing makinesinin endeksi olup olmadığına karar verin . (2) gelişigüzel hızlı bir şekilde yakınlaşan Cauchy sekansı verildiğinde, bunun hesaplanabilir bir sekans olup olmadığını belirleyin. Hesaplanabilir reel sayılar kümesinin karar verilebilir olduğu konusunda genel bir anlam yoktur.

e \in N

$e \in \mathbb{N}$

e

$e$

— Carl Mummert

@Carl: dizininde verilen bir algoritma var bu hesaplanabilir bir gerçek hesaplayan bir Turing makinesinin dizinidir, hesaplayan bir Turing makinesinin endeksi olup olmadığına karar verir hesaplanabilir bir gerçek. Bu sadece , çünkü reals setlerinin Saptanabilirlik ilginç duygusu senin (1) tam olarak hiçbir hesaplanabilir Reali ile setleri tarafından karşılanır ve sizin (2) tarafından tam olarak memnun olduğunu ve .

e \in N

$\: e\in \mathbb{N} \:$

e

$e$

$\hspace{.1 in}$

$\;\;$

$\hspace{.2 in}$

$\hspace{2.2 in}$

{}

$\: \{\} \:$

R

$\mathbf{R}$

$\;\;\;$