Durma problemi, hesaplanamayan kümeler: ortak matematiksel kanıt?

Sayılabilir bir algoritma kümesiyle (bir Gödel numarasıyla karakterize edilir), N'nin tüm alt kümelerini hesaplayamadığımız (ait olanı kontrol eden bir ikili algoritma inşa edebileceğimiz) bilinmektedir.

Bir kanıt, şöyle özetlenebilir: eğer yapabilirsek, N'nin tüm alt kümelerinin kümelenmesi sayılabilir (her bir alt kümeyle ilişkilendirilebilir, onu hesaplayan algoritmanın Gödel sayısını belirleyebiliriz). Bu yanlış olduğu için sonucu kanıtlar.

Bu, sorunun N'nin sayılabilir olmadığının altkümelerine eşdeğer olduğunu gösterdiğinden sevdiğim bir kanıt.

Şimdi durma sorununun sadece bu aynı sonucu (N alt kümelerinin hesaplanamazlığı) kullanarak çözülemez olduğunu kanıtlamak istiyorum, çünkü bunların çok yakın bir sorun olduğunu tahmin ediyorum. Bu şekilde kanıtlamak mümkün mü?

computability halting-problem

— Weier
kaynak

Açıkçası her iki sonuç da aynı teknik (köşegenleştirme) kullanılarak kanıtlanabilir. Ancak, durma sorununun kararsızlığını sadece just alt kümelerinin ailesinin hesaplanamazlığını kullanarak kanıtlamanın mümkün olduğunu sanmıyorum, çünkü ilki her ikisi de sayılabilir aileleri olan RE ve R arasındaki karşılaştırma ile ilgili . ets alt kümeleri.

— Tsuyoshi Ito

Sadece bir Godel numarasıyla nitelenen durgun kahinlere erişimi olan sayılabilir bir çok program var. Ancak, durma sorunu bu sayılabilir küme arasındadır.

— David Harris

Durdurulması teoremi, Cantor teoremi (set ve POWERSET olmayan izomorfizm) ve Goedel eksiklik teoremi Lawvere tüm örnekleri herhangi kartezyen kapalı kategori için bir epimorphic haritası varsa söylüyor nokta teoremi, sabit olan ardından her sabit bir noktaya sahiptir. $e : A \to (A \Rightarrow B)$ $f : B \to B$

Lawvere, F. William. Çapraz Argümanlar ve Kartezyen Kapalı Kategoriler . Matematik Ders Notları, 92 (1969), 134-145.

Bu fikirlere güzel bir giriş yapmak için , Andrej Bauer'ın bu blog gönderisine bakın .

— Neel Krishnaswami
kaynak

Bu oldukça temiz. Onları birleştiren gerçek bir resmi tartışma olduğunu bilmiyordum.

— Suresh Venkat

Şimdiye kadar, eğer aynı görünüyorsa ve aynı kokuyorsa, aynı olduğu hissine dair kategorik bir argüman bulunduğundan şüphelenmeyi öğrendim.

— Vijay D

IMO, Lawvere'in teoremiyle ilgili gerçekten güzel olan iki şey (a) olumsuz bir terimden ziyade olumlu bir ifade olduğu ve (b) ispatın basit bir lambda hesabı hesaplamalarının yarım düzine çizgisi olduğu.

— Neel Krishnaswami

Soruyu okuduğumda, kendime birisinin Lawvere'in sabit nokta teoreminden bahsetmesi gerektiğini düşündüm. Cevapları okuduğumda sevincimi hayal et :-)

— Andrej Bauer

e epimorfik olmak doğru şart değildir. Epimorfik olmanın şartı ile ne ima ettiği ne de ima edilen nokta-sürekliliğe ihtiyacınız var. Bkz. Açıklama 2.3 ncatlab.org/nlab/show/Lawvere%27s+fixed+point+theorem

— 13'te