Eşdeğerliğin kolay olduğu ancak sınıf temsilcisi bulmanın zor olduğu bir örnek

Farz edelim ki bir sınıf nesnemiz (örneğin grafikler, dizeler) ve bu nesneler üzerinde bir denklik ilişkimiz var. Grafikler için bu grafik izomorfizmi olabilir. Dizeler için, birbirlerinin anagramları ise, iki dizgiyi eşdeğer ilan edebiliriz.

Bir eşdeğerlik sınıfı için bir temsilci hesaplamakla ilgileniyorum. Başka bir deyişle, f () işlevini, x, y, f (x) = f (y) iff x ve y nesnelerinin eşdeğer olduğu şekilde istiyorum. (*)

Anagram örneği için, f (s) dizedeki harfleri sıralayabilir, yani. f ('cabac') = 'aabcc'. Grafik izomorfizmi için f (G) 'yi G'ye izomorfik olan ve bu özelliğe sahip olan ilk sözlük olan G' grafiği olarak alabiliriz.

Şimdi soru: İki elemanın eşdeğer olup olmadığını belirleme sorununun "kolay" (poli zamanla çözülebilir) olduğu ve bir temsili bulmak zor olduğunda (yani, f () 'ı hesaplayan herhangi bir poli zaman algoritması bulunmadığı) bir örnek var mı? *)).

Ok, nasıl: sayı ve eşit olup olmadığını ya da , ya da her iki ve ayrıştırmaları sahip ve burada , ve her asal olan . Şöyle ki: İki primerin ürünü, en küçük ana faktörünü paylaşırken eşdeğerdir; diğer numaralar sadece kendilerine eşdeğerdir.$x$$y$$x=y$$x$$y$$x=pq$$y=pr$$p$$q$$r$$p < \min(q,r)$

İki farklı sayının eşdeğer olup olmadığını test etmek kolaydır: gcd'lerini hesaplayın, önemsiz olup olmadığını test edin, gcd'nin kofaktörlerden daha az olup olmadığını test edin ve gcd ve kofaktörlerinin tümünün asal olup olmadığını test edin.

Ama bir temsilci işlev hesaplamak değil nasıl açıktır polinom zamanda ve o gereksinimi eklerseniz eşdeğer olmalıdır sonra herhangi bir temsilci fonksiyonu (iki asal sayının faktör çoğu üründe değil mi her biri bize izin verecek kendi temsilcisi değil).f ( x ) $f$$f(x)$$x$

İki tamsayı mod , eğer mod ise eşdeğerdir . Eğer bir kişi bu işlev için kolayca bir sınıf temsilcisi hesaplayabilirse, olasılıksal polinom zamanında faktoring yapılabilir.n x 2 ≡ y 2$x,y$$n$$x^{2} \equiv y^{2}$$n$

Genel olarak, böyle bir örnek anlamına gelir . Diyelim ki, polinom zamanında karar verebilen bir denklik ilişkisidir. Daha sonra bir kahinesi kullanarak sözlük bilgisi araştırmasıyla , kişi herhangi bir dize denklik sınıfında sözcük bilgisi açısından en küçük eleman olarak bulunabilir. Eğer Eğer bir sınıf temsilcisi olarak sözlük sırasında en az eşdeğer dize kullanabilirsiniz böylece, bu, polinom zaman olur. Bu gözlem aslında Blass ve Gurevich [1] tarafından yapılmıştır.R N P P = N $P \neq NP$$R$$NP$$P=NP$

Böyle bir örnek aynı zamanda (ve dolayısıyla, özellikle, ) anlamına gelir.P ≠ U $UP \not\subseteq BQP$$P \neq UP$

İstediğiniz soru, tam olarak olarak adlandırdığımızLance Fortnow ile [2] yazdığımız . Bu makale ayrıca burada belirttiğim sonuçları ve Peter Shor tarafından belirtilen hash fonksiyonlarının bir örneğini, birkaç olası diğer örneği ve ilgili sonuçlar ve soruları içermektedir.$PEq =? Ker(FP)$

[1] Blass, A. ve Gurevich, Y. Denklik ilişkileri, değişmeyenler ve normal formlar . SIAM J. Comput. 13 (4): 682-689, 1984.

[2] Fortnow, L. ve Grochow, JA Karmaşıklık denklik problemleri sınıfları tekrar gözden geçirildi . Bilgi vermek. ve Comput. 209 (4): 748-763 ile, 2011. Diğer uygun arXiv .

"Temsilci" denklik sınıfında mı olmak zorunda?

Eğer varsa, o zaman herhangi almak kriptografik güçlü karma işlev çarpışma direnci ile.$f$

ise olsun . Bu iki şey eşdeğer olup olmadığını test etmek kolay, ama, verilirse , sen bir kanonik öngörüntü bulabildiğim , o zaman bulabildiğim iki dizeleri ve öyle ki . Bunun zor olması gerekiyordu (çarpışma direncinin anlamı budur).f ( x ) = f ( y $x \simeq y$$f(x) = f(y)\,$h x y f ( x ) = f ( y $f(x) = h$$h$$x$$y$$f(x)=f(y)\,$

Tabii ki, bilgisayar bilimcileri, kriptografik olarak güçlü hash fonksiyonlarının çarpışma direncine sahip olduğunu ispatlayamazlar, ancak bir takım adayları vardır.

İlk olarak, gerçekten ne istediğinizi genellikle tam bir değişmez denir. Bir kanonik veya normal form ayrıca in tüm için eşit olmasını gerektirir . (Bir "temsilci" istemek, bazı yazarlar bunun kanonik formun durumunu içerdiği anlamına gelebileceğinden, biraz belirsizdir.)$f(x)$$x$$x$

İkincisi, utanmaz kişisel terfii affet, ama bu tam olarak Fortnow ve benim [1] üzerinde çalıştığımız sorulardan biri. de karar verilebilecek her denklik ilişkisinin de de tam bir değişmezliğe sahip olması , kötü şeylerin olduğunu gösterdik. Özellikle, anlamına . Eğer bu ifadenin söz versiyonu (bakınız Teorem 4.6) o zaman ve .$\mathsf{P}$$\mathsf{FP}$$\mathsf{UP} \subseteq \mathsf{BQP}$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{BQP} \cap \mathsf{SZK}$$\mathsf{PH} = \mathsf{AM}$

Şimdi, eğer gerçekten bir kanonik form (eşdeğerlik sınıfında da bulunan her bir denklik sınıfının temsilcisi) istiyorsanız, daha da kötü şeyler olduğunu gösteririz. Yani, polinom-zaman içinde karar verilebilecek her denklik ilişkisinin bir poli-zaman kanonik formu varsa, o zaman:

• Tamsayılar olasılıksal çoklu zamana göre faktörize edilebilir
• içinde değerlendirilebilecek çarpışmasız karma işlevleri yoktur.$\mathsf{FP}$
• $\mathsf{NP} = \mathsf{UP} = \mathsf{RP}$ (dolayısıyla )$\mathsf{PH} = \mathsf{BPP}$

Ayrıca, bizden dolayı ve Blass ve Gurevich'e [2] eşitlik ilişkileri ile ilgili bu ifadelerin çoğunun her iki yolundan giden uçurumlar vardır.

Eğer "herhangi bir" temsilci yerine, bir eşdeğerlik sınıfındaki sözlüksel olarak en küçük elemanı isterseniz, bir eşdeğerlik sınıfındaki sözlüksel olarak en küçük öğeyi bulmak -hard olabilir (aslında, -hard) - ilişkinin polinom-zaman kanonik bir formu vardır [2].$NP$$P^{NP}$

[1] Lance Fortnow ve Joshua A. Grochow. Karmaşıklık denklik problemleri sınıfları tekrar gözden geçirildi . Bilgi vermek. ve Comput. 209: 4 (2011), 748-763. ArXiv olarak da mevcuttur : 0907.4775v2 .

[2] Andreas Blass ve Yuri Gurevich. Eşdeğerlik ilişkileri, değişmeyenler ve normal formlar . SIAM J. Comput. 13: 4 (1984), 24-42.

İşte "temsilci" şartını gevşettiğimiz başka bir cevaba girişme; aslında denklik sınıfının bir üyesi olmak zorunda değil, sadece denklik sınıfını tanımlayan bir fonksiyon.

Alt grup üyelik testi yapabileceğiniz bir grubunuz olduğunu varsayalım. Yani, verilen , sen olmadığını kontrol edebilir tarafından üretilen bir alt-grubu olan .$g_1, g_2, \ldots, g_k$$h$$g_1, \ldots, g_k$

Eşdeğerlik sınıflarınızı , aynı alt grubu oluşturan elementlerinden gruplara alın. İki kümenin aynı alt grubu oluşturup oluşturmadığını kontrol etmek kolaydır. Ancak, her alt grup için nasıl benzersiz bir tanımlayıcı bulabildiğiniz hiç belli değil. Alt grup üyelik testi olan kara kutu gruplarını varsayarsanız, bunun gerçekten bir örnek olduğunu düşünüyorum. Ancak, bu sorunun zor göründüğü kehanet olmayan bir grup olup olmadığını bilmiyorum.$g_1, g_2, \ldots, g_k$

İşte tartışmalı bir örnek. Nesneleri çiftlerdir $(H,X)$$H$ SAT formül ve $X$ değişkenler için önerilen görevdir. Ki $(H,X) \sim (H',X')$ ise $H=H'$ (a) ya da $X$ ve $X'$ tatmin edici atamaları, veya (b) her ikisi de $X$ ve $X'$ her ikisi de tatmin edici değildir atamalar. Bu, dönüşlü, simetrik ve geçişlidir. Her tatmin edilemez$H$ , hepsinden oluşan bir denklik sınıfına sahiptir$(H,X)$ . Her karşılanabilir$H$ her bir sınıfı vardır$(H,X)$ burada$X$ bir tatmin atama ve non-tatmin edici olanlarla başka bir sınıfı.

Kontrol etme $(H,X) \sim (H',X')$ sadece kontrol yana kolay ise $H=H'$ , daha sonra, eğer $X$ tatmin $H$ , daha sonra, eğer $X'$ tatmin $H$ . Ancak belirli bir sınıfın bir kanonik elemanı hesaplamak için $(H,X)$ ile $H$ tatmin $X$çok zor görünüyor (sertliği kanıtlamanın en iyi yolundan emin değilim). SAT örneklerine kolayca fazladan bir çözüm ekleyebiliriz; bu nedenle, bir çözümün bilinmesi genellikle herhangi bir çözümü bulmamıza yardımcı olmaz, kanonik bir çözüm seçmemize izin vermez. (Düzenleme: Demek istediğim, ilk çözüm verilen ek çözümleri bulmak için etkili bir algoritma beklemememdir. Çünkü SAT sorununu ilk önce soruna fazladan bir çözüm ekleyerek, sonra bunu besleyerek "çözmek için kullanabiliriz." algoritma. Yorumlara bakınız.)

Bu açık bir sorudur, en azından grafikler için. Son gelişimin olduğuna inanıyorum

Babai ve Kucera, "Lineer ortalama zamanda grafikleri kanonik etiketleme", FOCS, 1979

olasılık 1 - 1 olasılıkla doğru olan bir kanonik grafik için (beklenen) doğrusal zaman algoritması verir$1 - \frac{1}{2^{O(n)}}$

Wikipedia'da daha fazlasını okuyabilirsiniz . Babai'nin algoritmasının derandomize edilmiş bir versiyonunun grafikler için böyle bir örneğin bulunmadığı anlamına geldiğini unutmayın.

İki boyutlu devrelerin devrelerinin eşdeğer olup olmadığını test etme .$\leq N$

olup olmadığını belirlemek için sadece 2 n giriş noktasında değerlendirmeniz gerekir . Bir sınıf temsilcisini belirlemek için muhtemelen 2 Ω ( N log N ) olası devrelerin tümünü test etmek zorunda kalabilirsiniz. Yeterince büyük olan N için bu, katlanarak test devresi denkliğini test etmekten daha zordur.$C_1 \sim C_2$$2^n$$2^{\Omega(N \log N)}$$N$

Tanımlayıcı küme teorisinden ünlü bir örnek:

Bunu bir eşdeğerlik ilişki tanımlamak Let $\sim$ ile $\mathbb R$ ile

Bu oldukça "kolay" bir denklik ilişkisi, özellikle de ölçülebilir.

Ancak temsilci bulmak , Seçim Aksiyomunu gerektiren ve ölçülemeyen bir Vitali seti bulmak için yeterlidir .

Evreninizdeki nesneler triple (olalım $\Phi, b, i)$ burada $\Phi$ değişkenlere, bir Gerçeklenebilirlik sorun $x_0, \ldots, x_{k-1}$ , $b$ 0 veya 1 olduğu ve $i$ uzunluğu bir Bit dizisi olan $k$ burada $\Phi(i)=b$ . Yani, $i$ bir atama olduğunu $x_0, \ldots, x_k$ ye uyan $\Phi$ eğer $b$1 ise veya b = 0 değilse $\Phi$ sağlamaz . $b$

İki nesne aynı $\Phi$ değerine sahipse eşdeğerdir . Kontrol etmesi kolay.

Temsilci nesnenin denklik sınıfındaki herkes arasında sözlüksel olarak en büyük olmasına izin verin.

Örnek bulmak için NP tamamlanmıştır: sözlük sırasında büyük olup olmadığını çünkü, SAT çözecek $b=0$ , o zaman $\Phi$ edilemezdir olduğu; sahip olduğu takdirde $b=1$ , bu karşılanabilir olduğu.

NP-komple sorunların çoğunun bu şekilde ortaya konabileceğini düşünüyor; Üyelik belgesini elementin kodlamasına yerleştirmek meselesidir.

Bunun bir ev ödevi problemi olduğunu düşündüm, bu yüzden çözümü daha önce göndermedim. Yapmalıydım; @ David-eppstien'in sahip olduğu noktaları kullanabilirdim. İyilik bilir, onlara ihtiyacı yok.

Sanırım, tanımladığınız türden hemen hemen her türlü problem için kolaylıkla başarabilirsiniz.

Önemsiz örnek: Nesnelerin dizge olduğunu ve herhangi bir kendisine eşdeğer olduğunu varsayalım . İki elementin eşdeğer olup olmadığını belirlemek her zaman kolaydır (sadece eşitliktir). Bununla birlikte, f ( ) işlevini favori sıkıcı zor işleviniz olarak tanımlayabilirsiniz .$x$$f()$