Minimum akorsuz tek çevrim grafik tamamlama: NP zor mu?

Son zamanlarda araştırmamda şu ilginç sorun ortaya çıktı:

ANLIK: Grafik . $G(V, E)$

ÇÖZÜM: bir üst olarak tanımlanan bir chordless tek döngülü tamamlama, $E'$ kenar seti $E$ böylece tamamlanmış grafiği hep $G'(V, E')$ her kenar, bu özelliğe sahip $G'$ bir chordless tek döngü içinde ihtiva edilmektedir.

TEDBİR: Tamamlanma büyüklüğü, yani $|E' - E|$ .

Şimdiye kadar, bu sorunun değiştirilmiş bir versiyonunun NP-tamamlanmış olduğunu kanıtlayabildik , burada " daki her kenarın akorsuz bir garip döngüde bulunması" yerine "her kenarın" msgstr "bir üçgen içinde (uzunluk 3 döngüsü)". (Bunun MINIMUM CHORDAL GRAFİK TAMAMLAMA problemiyle eşdeğer olmadığını unutmayın .) $G'$

Birincisi kolayca ikincisinin bir genellemesi olarak görülüyor, ancak bu kadarı kanıtlamak için tüm çabalarım başarısız oldu. Herkes bir işaretçi / referans / vb ile gelebilir?

— Gabor Retvari
kaynak

sorun, garip (anti-) bir delik (akorsuz garip döngü en az uzunluk 5) varsa mükemmel olan mükemmel grafikler ile ilgili görünmektedir [wikipedia'da daha fazla]. Bu nedenle, soruyu mükemmel grafikler hakkındaki bir soru açısından yeniden biçimlendirmeye çalışmanızı öneririz.

— Mart'ta vzn

@vzn: Bu güçlü teoremin burada yardımcı olabileceğinden emin değilim.

— domotorp

P'de G'nin her kenarının akorsuz bir garip döngüde olup olmadığına karar verebilir miyiz? Sanırım bu mümkün, ama nasıl olduğunu göremiyorum.

— Mart'ta domotorp

Twoimdi iki sorunumuz var . Kolayca, her kenar için akorsuz bir garip döngüde olup olmadığına karar verebilirsek P'de bir karar verirdik. Bir bulunan başvuru soru belirten, "bir grafiktir öngörülen bir tepe geçerek, üçten uzunlukta daha büyük bir neden tek döngüyü içermektedir mu?" ve "Bir grafik, öngörülen iki köşe arasında indüklenmiş tek bir yol içeriyor mu?" NP-eksiksizdir, ancak bunlar bizim durumumuzu tam olarak çözmez. Orijinal sorunun NP'de olmadığı, ancak NP-zor olabileceği ortaya çıkabilir.

— Gabor Retvari

yukarıdaki sorunu tanımladığınız kağıdın hangi bölümünü ve kağıtta hangi thm belirttiğinizi belirtebilirsiniz. to ("değiştirilmiş versiyon kanıtlanmış NP tamamlandı")

— vzn

Sorunun karar formunda bile NP zor olduğunu kanıtlıyoruz, yani `` Giriş grafiği zaten akorsuz bir garip döngü tamamlandı mı? '' $G$

Sorun P : bir grafiktir Verilen ve bir kenar , içinden geçen 3 den uzunlukta daha büyük bir chordless tek döngü vardır ? $G$ $e\in E(G)$ $e$

Bu sorun, NP sert 'bir belirli düğüm geçen chordless da döngüleri tespit' indirgeme ile olduğu bilinen referans vererek bölüm 3 önce paragrafında belirtildiği Görüş birinde verilen ve : $p=0$ $q=2$

Bir yana, ve rastgele sabit tamsayı olsun. Aşağıdaki sorunlar NP komple: bir grafiktir mu tepe öngörülen bir geçiş indüklenen bir döngüsü içeren uzunluğu, (mod )? ... $q>1$ $p\ge 0$ $G$ $u$ $p$ $q$

(Karp azalması olabilir, ancak bir Aşçıya izin verirsek, aşağıdaki azaltmayı göz önünde bulundurun: Verilen derece d düğümünü, uygun giden kenarları olan d boyutunun tam bir alt bölümüne dönüştürün. verilen düğümü geçen akorsuz bir çift çevrimin, tüm grafikteki kenarlardan birinden geçen 3'ten büyük bir akorsuz tek çevrimine karşılık geldiğine dikkat edin.)

Şimdi ana azaltma için. Geçerek herhangi üçgenler varsa öncelikle algılamak, Problem P örneği göz önüne alındığında ; öyleyse, ile üçgen oluşturan her düğümü silin . İle bir üçgen oluşturan bir silme düğümleri bu Not geçen bir chordless tek döngüleri çıkarılması değil (chordless özelliği tarafından). $e$ $e$ $e$ $e$

Daha sonra, dışındaki her kenar için bir yardımcı düğüm ve iki kenar ve ekliyoruz . Yeni grafik gözlemleyin , aşağıdaki özelliğe sahiptir: $f$ $e=(u,v)$ $v_f$ $(v_f,u)$ $(v_f,v)$ $G'$

geçen 3'ten uzunluğa bir chordless tek döngüsüne sahiptir , ancak ve ancak bir chordless tek döngülü tamamlanmasıdır. $G$ $e$ $G'$

Sadece bir yönde için, kenarların farklı dikkate ispat edilebilir . dışındaki her kenar (yeni eklenen kenarlar dahil) en az bir üçgende (yardımcı düğümü içeren kenar) olacaktır; ve bir chordless tek döngüsünde olur orada içinden geçen bir chordless tek çevrim olduğu de ve döngü düğüm silme işlemi sırasında kaldırılmaz. $G'$ $e$ $e$ $G′$ $e$ $G$

Eğer yön için, dışındaki her kenarın en az bir üçgen içinde olması gerektiğinden, sadece kenarı hakkında endişelenmemiz gerekir . İçinden geçen bir chordless tek döngü vardır de ( bir chordless tek döngü tamamlanmak üzere). Döngüsü inşası ile uzunluğu 3 olamaz , ve döngü (chordless özelliği tarafından) herhangi bir yardımcı düğüm içeremez çünkü, bu grafik olacak de. Bu nedenle kanıt tamamlandı. $e$ $e$ $e$ $G'$ $G'$ $G'$ $G$

— Hsien-Chih Chang 張顯之 Instagram Hesabındaki Takipçileri
kaynak

Her iki indirimi de takip etmekte zorlanıyorum. İlk indirgemede, verilen v düğümü, örneğin, 5 derecesine sahipse, indirgeme işleminden sonra K_5 olur ve bu K_5 tek uzunluklu bir döngü içerir, ancak v içeren çift uzunluklu bir döngüye karşılık gelmez. ana azalma, G = (V, E), burada V = {1,2,3,4,5}, E = {12,23,34,45,15,35} ve e = 34 olduğunu varsayalım. G'nin e'den geçen 5 uzunluk döngüsü vardır, ancak G 'de kenar 34 bir köprüdür ve indirgemenizin tanımını doğru anlarsam herhangi bir garip döngüye ait değildir.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Ne demek istediğini anlıyorum. Problem P'de garip döngüyü akorsuz hale getirmeliyiz. Bu nedenle, herhangi bir tam grafik chordless tek uzunluklu döngüleri içeren ve içinden geçen herhangi bir chordless tek uzunluklu döngüsü için değil

, içinden geçen bir üçgen bulunmaktadır

da döngüsünde kenarları kullanır. Cevabı güncelleyeceğim.

e

$e$

e

$e$

— Hsien-Chih Chang 之之

@ Hsien-ChihChang 張顯之: Ana indirgeme ile ilgili ikinci noktaya ne dersiniz, dikkatsizce "

ile bir üçgen oluşturan her düğümü silersek

dan geçerli akorsuz garip döngüler kaldırılabilir mi? Ve başka bir soru: orijinal referans , " belirli bir düğümden geçen akorsuz tek- döngüleri tespit etmek" için NP tamlığını kanıtlıyor , ancak "akorsuz çift- döngüleri tespit etmek " formunu kullandınız. Birincisinin ikincisini (oldukça makul görünüyor) ima ettiğini sessizce kendiniz kanıtladınız mı?

e

$e$

G^{'}

$G'$

— Gabor Retvari

@ Hsien-ChihChang 張顯之: neyse: ödülün süresi yakında sona erdiğinden ve bilgisayarımdan uzakta olacağımdan, şimdi size fiyat vereceğim. Cevabınız için çok teşekkür ederim, problemi yeni şekillerde düşünmeme gerçekten yardımcı oldu. Daha sonra geri gelip yukarıdaki sorunları temizleyebilirseniz, çok minnettar olurum.

— Gabor Retvari

@Gabor: Söz 1 için düğümleri silme ile bir üçgen oluşturan

geçen bir chordless döngüleri çıkarılması değil

(chordless özelliği tarafından). Diğer akorlu olmayan döngüleri yok edebilir, ancak

nin akorsuz tek-döngü tamamlaması olmasını istediğimizden,

dışındaki her kenar (yeni eklenen kenarlar dahil) en azından üçgende (yardımcı düğümü içeren kenar) ); ve

bir chordless tek döngüsünde olur

içinden geçen bir chordless tek döngü vardır IFF

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

e

$e$

G

$G$

— Hsien-Chih Chang 之之