“Grafik bir üründür” karmaşıklığı

Bu soru saf meraktan ortaya çıkıyor ( bir ipi karıştırmayı düşünürken ortaya çıktı , ama aslında bunun ilişkili olup olmadığından emin değilim) bu yüzden umarım uygun olur.

Çeşitli grafik ürünleri var ve bunlardan herhangi biriyle ilgileniyorum. grafiğinin önemsiz bir ürün için izomorfik olup olmadığını belirlemenin karmaşıklığı nedir ? (Kesinlikle Kartezyen ürün için, burada , bir köşeli grafiktir.)$K$$K = K \square 1$$1$

Wikipedia'daki "factor graph" ve "graph factorization" sayfalarına baktım, ancak ikisi de birbiriyle alakalı görünmüyor. Bu sorun başka bir isim altında mı biliniyor?

Kağıdı Wilfried, Imrich; Iztok, Peterin, Kartezyen ürünlerini lineer zamanda tanıma . Discrete Math., 307, 3-5, Sayfa: 472-483, 2007. Imrich'in diğer ürünler için daha fazla makalesi olduğunu düşünüyorum.

Polinom zaman içinde birkaç grafik ürün tanınabilmektedir. Her zaman olduğu gibi, Kartezyen ürünü en kolay olanıdır ve Kartezyen kasası da diğer bazı ürünler için algoritmaların temelidir. Sözlükbilimsel ürünün (kompozisyonun) tanınması, grafik izomorfizmine eşdeğerdir.

Daha ayrıntılı olarak:

sonlu basit grafiklerin sınıfı olsun ve , öz döngülere sahip olabilecek sonlu basit grafiklerin sınıfı olsun. (Açıkça .)$\Gamma$$\Gamma_0$$\Gamma \subset \Gamma_0$

Bağlı bir giriş grafiğinin da faktörleri olup olmadığına karar vermek, Kartezyen ve güçlü ürünler için ve aynı zamanda bipartit olmadığında doğrudan ürün için polinom zamanında yapılabilir . faktörleri olup olmadığına karar vermek, Kartezyen ürün için polinom zamanındadır, ancak sözlükbilim ürünü için polinom zamanında olma olasılığı yoktur. Doğrudan ve güçlü ürünler için faktörleri olup olmadığına karar vermenin durumunu bilmiyorum .$G$$\Gamma_0$$G$$G$$\Gamma$$G$$\Gamma$

Imrich ve Klavžar'dan alakalı sonuçlar:

Teorem 4.10. Bağlı bir grafik için ile köşe ve , bir Kartezyen ürüne göre asal çarpanlara bulabilirsiniz kenarları defasında alanı.$G$$n$$m$$O(mn)$$O(m)$

Teorem 5.43. Doğrudan ürüne bağlı olarak bağlı, çift uçlu olmayan grafiklerin içindeki temel faktör ayrışması ve güçlü ürüne göre basit grafiklerin bağlanması polinom sürede belirlenebilir.$\Gamma_0$

Kartezyen ürün için sonuç daha sonra Bölüm 7'deki zaman ve boşluğa yükseltilir. Diğer cevaplarda belirtildiği gibi, bu zamandan beri doğrusal zamana göre geliştirilmiştir.$O(m\log n)$$O(m)$

Sözlükbilim ürünü için:

Teorem 6.20. Verilen bir bağlı grafiğin, sözlükbilimsel ürüne göre birincil olup olmadığına dair karar sorunu, en azından grafik izomorfizmi problemi kadar zordur.

Teorem 6.21. Belirli bağlı grafiği lexicographic ürüne göre asal olup olmadığını karar problemi (bir polinom sayısının çözeltisi daha zor değildir , ve bunların her birisinin boyutu da polinom olan grafik izomorfizm problemlerinin) .$n$$n$

Bu nedenle, grafiğin leksikografik ürüne göre birincil olup olmadığına karar vermek, Turing azaltmalarında GRAPH ISOMORPHISM'e eşdeğerdir.

Kendinden döngüsüz faktörlere sahip doğrudan ve güçlü ürünün durumu baktığım referanslarda eksik gibi görünüyor. Bu olayı tartışan bildirilerdeki herhangi bir işaretçi veya bunun neden ilgi çekici olmadığı konusunda bir ipucu veririm.

• Wilfried Imrich ve Sandi Klavžar, Ürün Grafikleri: Yapı ve Tanıma . Wiley, 2000. ISBN 0-471-37039-8.

Kartezyen ürüne bağlı olarak bağlı grafiklerin ana faktörlerini belirlemek için doğrusal bir zaman algoritması vardır. Bkz kağıdı IMRICH ve Peterin tarafından.