tepe renginin P olduğu, ancak bağımsız kümenin NP tamamlandığı grafikler

Köşe renklendirme probleminin P'de olduğu, ancak bağımsız küme probleminin NP tamamlanmış olduğu bir grafik sınıfı örneği var mı?

Belki de daha genel bir ifade (kolay bir kanıtla), aşağıdaki sorunun zaten NP-tamamlanmış olmasıdır:

Giriş: Bir grafik G, G'nin 3 renklendirilmesi, k tamsayısı.

Soru: G'nin bağımsız bir boyut k seti var mı?

Bu Bağımsız Kümeden bir azalma ile kanıtlanabilir. Bir G grafiği alırsak, bir kenar seçer ve onu iki kez alt bölümlere ayırırsak (örneğin, kenarı {u, v} u, x, y, v yolu ile değiştirin, burada x ve y'nin iki derece olduğu) G'nin bağımsızlık sayısı tam olarak bir artar. (G'de bağımsız olan herhangi bir kümeye tam olarak x veya y'den birini ekleyebilirsiniz ve bunun tersi de zor değildir.) Bu nedenle, m kenarlı G grafiğinin bağımsız bir k boyutu kümesine sahip olup olmadığı sorusu soruya eşdeğerdir. G'deki tüm kenarların iki kez bölünmesinin bir sonucu olan G 'nin bağımsız bir k + m boyutuna sahip olup olmadığı. Ancak, G 'yi üç bağımsız sete ayırarak G' nin 3 rengini elde etmenin kolay olduğunu unutmayın: biri G'de olan köşeleri içerir ve diğer iki sınıfın her biri tam olarak ikisinden birini içerir " subdivider" her kenar için köşe. Bu nedenle, bu prosedür, bağımsızlık numarasını hesaplamak size orijinal grafiğin G bağımsızlık numarasını verecek şekilde 3 renklendirmeli bir G 'grafiği oluşturur.

Sözde, Uehara'nın (aslında görmediğim bir kağıt) 3 bağlantılı kübik düzlemsel grafikte NP-tam problemleri ve uygulamaları ”referansı, bağımsız kümenin üçgen içermeyen düzlemsel grafikler için bile NP-tam olduğunu kanıtlıyor. Ancak Grötzsch teoremi ile her zaman 3 renklendirilebilirler ve 3'ten daha az sayıda renk için test yapmak herhangi bir grafikte kolaydır, bu nedenle P'de en iyi şekilde renklendirilebilirler.

Daire grafiklerin tam tersi bir özelliği vardır: onlar için renklendirme NP'dir, ancak bağımsız set problemi kolaydır.

Bu yeni bir cevap değil, üçgen içermeyen kübik düzlemsel grafiklerde BAĞIMSIZ SET sertliği için ilk ve elde edilmesi kolay bir referanstır: Owen Murphy'nin notu, büyük çevresi olan grafiklerde bağımsız kümelerin hesaplanması , Ayrık Uygulamalı Matematik 35 (1992) 167-170 ,

$n$$cn^k$$c>0$$k, 0\le k < 1$

$c$$c>0$

@BartJansen tarafından belirtilen azalma, Murphy'nin teoremine dair kanıtında özel bir durumdur.

Ters özellik için, çizgi grafikler @DavidEppstein tarafından ele alındığı gibi daire grafiklerinden daha doğal görünmektedir. Çizgi grafikler için, RENKLEME NP-tamamlıdır, ancak BAĞIMSIZ SET kolaydır.