Dual'deki bir çift ayrık homotopik döngü grafiği ayırır mı?

İzin Vermek $G$ cinsin yönlendirilebilir kompakt yüzeyine gömülü bir grafik olmak $g$böylece gömme hücresel olur. Grafiğin ikisini düşünün$G^*$. İzin Vermek$C_1$ ve $C_2$ ayrık döngüler olmak $G^*$ birbirlerine homotopik olan ve $E_1$ ve $E_2$ karşılık gelen kenar setleri $G$sırasıyla. Dır-dir$G \setminus (E_1 \cup E_2)$ bağlantısı kesilmiş bir grafik?

Evet. Yazayım$\Sigma$ yüzey için $G$ ve $G^*$ gömülüdür.

Çünkü döngüleri $C_1$ ve $C_2$ Homotopik, onlar da aynı $\mathbb{Z}_2$-homoloji sınıfı. Yani tanım gereği, simetrik fark$C_1\oplus C_2$ yüzlerin bazı alt kümelerinin birleşmesinin sınırıdır $G^*$; bu yüz birliği deyin$U$. (Aslında, ya$U$ veya tamamlayıcısı $\Sigma\setminus U$ bir halka olmalı, ama bu önemli değil.)

Çünkü $C_1$ ve $C_2$ ayrık, simetrik fark $C_1\oplus C_2$ sendikaya eşit $C_1\cup C_2$. Özellikle,$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$, bu da her ikisinin de $U$ ve tamamlayıcısı $\Sigma\setminus U$boş değil. Başka bir deyişle, yer altı$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$ bağlantısı kesildi.

İçindeki herhangi bir yol $G$ içinde bir yol olarak görülebilir $\Sigma$ ... $G^*$ve tam tersi (homotopiye kadar). Böylece, (grafik) bileşenleri$G\setminus (E_1\cup E_2)$ iki yüzeyli (yüzey) bileşenlerine $\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$. Şu sonuca varıyoruz ki$G\setminus (E_1\cup E_2)$ bağlantısı kesildi.

Varsayım $\Sigma$ yönlendirilebilir asla kullanılmaz.