Kuantum genişleticilerin arkasındaki geometrik resim

( burada da istendi , cevap yok)

Bir -quantum genleştirici bir dağıtım ν üniter grubu üzerinde , U ( d ) özelliği bu: a) | s u p p ν | = d , b) ‖ E U ∼ ν U ⊗ U † - E U ∼ μ H U ⊗ U † ‖ ∞ ≤ λ , burada μ $(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$Haar ölçüsüdür. Üniterler üzerindeki dağılımlar yerine permütasyon matrisleri üzerindeki dağılımları düşünürsek, düzenli bir genişletici grafiğin genel tanımını geri kazandığımızı görmek zor değildir . Daha fazla arka plan için bkz. Örneğin: Verimli Kuantum Tensör Ürünü Harrow ve Low'un genişletici ve k tasarımları .$d$

Benim sorum - kuantum genişleticiler, klasik genişleticilere (spektral boşluğun olduğu) benzer her türlü geometrik yorumu kabul ediyor mu? izoperimetri / alttaki grafiğin genişlemesi)? "Geometrik gerçekleşme" yi resmi olarak tanımlamıyorum, ancak kavramsal olarak, tamamen spektral ölçütün bazı geometrik resimlere çevrilebileceğini ümit edebiliriz (klasik durumda, genişleticiler tarafından sağlanan matematiksel zenginliğin kaynağıdır; kuantumun matematiksel yapısı; genişleticiler çok daha sınırlı görünmektedir).$\sim$

[Bu cevap şu anda kullanılmayan teorik fizik yığın değiş tokuş sitesindeki cevabımdan kopyalandı.] Klasik genişleticiler için, spektral tanım, Laplacian grafiğinin en küçük ikinci öz değeri olarak ifade edilebilir. all-vektör vektörüne dik tüm birim vektörler üzerinde ikinci dereceden bir form. Bu minimizasyonu form vektörleri (a, a, ..., a, b, b, ..b) ile kısıtlarsak, bu grafiğin kenar genişlemesini verir. işte bir tartışma. Bu iki tanımın kabaca denkliği Cheeger eşitsizliği olarak bilinir .

Bu, kuantum vakası için kanalın (genişleticiden rastgele bir ünite uygulanarak oluşturulan) projektörler üzerindeki etkisini dikkate almamız gerektiğini düşündürmektedir. Cheeger eşitsizliğine benzer bir sonuç arXiv Ek A'da elde edilir : 0706.0556 .

Öte yandan, bu matematiksel olarak benzer olsa da, kuantum genişleticilerin klasik genişleticiler için bilinenden çok daha az uygulamasını hala biliyoruz.